2.7. Стаціонарна теплопровідність в плоскій і циліндровій стінках

У стаціонарному режимі теплопровідності температурне поле не змінюється в часі, тобто . В цьому випадку диференціальне рівняння теплопровідності для тіл простої форми при допущенні незалежності фізичних властивостей тіла від температури набирає вигляду:

або в дивергентній формі ,

де x₁– координата, м;k– коефіцієнт форми тіла. Підставляючи в останнє рівняння значення коефіцієнта форми тіла і позначення координати для тіл простої форми, отримаємо:

а) безкінечна пластина або плоска стінка (k= 1, x₁= x)

;

б) безкінечний циліндр (k= 2, x₁= r)

або в дивергентній формі ;

в) куля або сфера (k= 3, x₁= r) або в дивергентній формі .

Плоска стінка

Вирішимо диференціальне рівняння теплопровідності для плоскої стінки за наступних умов однозначності:

— товщина стінки рівна δ, м;

— коефіцієнт теплопровідності стінки не залежить від температури і рівний λ,Вт/(м·К);

— внутрішні джерела (стоки) теплоти в стінці відсутні, тобто ;

— на обох поверхнях плоскої стінки задано значення температури (ГУ I-городу): .

Рис. 2.4. Стаціонарне температурне поле в плоскій стінці

Вирішення диференціального рівняння для безкінечної пластини виконаємо подвійнимінтегруванням:

звідки слідує .

І остаточно отримуємо загальне вирішення температурного поля у вигляді

,

з аналізу, якого витікає, що в плоскій стінці при стаціонарному режимі теплопровідності температура лінійно змінюється по її товщині (див. рис. 2.4.).

Постійні інтегруваннязнаходимо, використовуючи граничні умови шляхом вирішення системи з двох лінійних рівнянь

.

З першого рівняння виходить, що , а з другого рівняння системи знаходимо постійну

.

Підставляючи значення постійних інтегруванняв загальне рішення, остаточно отримуємо

.

Знаючи температурне поле, нескладно розрахувати щільність теплового потоку в плоскій стінці, скориставшись законом Фур'є

або ,

де – теплова провідність плоскої стінки, Вт/(м²К); – термічний опір теплопровідності плоскої стінки (м²К) /Вт.

З аналізу формули для розрахунку щільності теплового потоку витікає, що тепловий потік не змінюється по товщині плоскої стінки або в будь-якій точці плоскої стінки. Тому для будь-якого i-го шару багатошарової стінки можна записати

,

де – перепад температур на i-омушарі багатошарової стінки; – термічний опір теплопровідності i-го шару багатошарової стінки.

З останнього вираження виходить, що перепад температур на кожному шарі багатошарової стінки прямо пропорційний термічному опору цього шару

Щільність теплового потоку для плоскої стінки, що складається з nшарів, розраховується по формулі:

.

Циліндрова стінка

Вирішимо диференціальне рівняння теплопровідності для циліндрової стінки за наступних умов однозначності:

— внутрішній і зовнішній радіуси циліндрової стінки рівні r₁і r₂, м;

— коефіцієнт теплопровідності стінки не залежить від температури і рівний λ, Вт/(м·К);

— внутрішні джерела (стоки) теплоти в стінці відсутні, тобто ;

— на обох поверхнях циліндрової стінки задано значення температури (ГУ I-го роду): .

Вирішення диференціального рівняння для безконечного циліндра виконаємо подвійнимінтегруванням. Для цього скористаємося записом диференціального рівняння теплопровідності в дивергентній формі

, оскільки

Розділяючи змінні і інтегруючи другий раз, отримаємо загальне вирішення температурного поля

,

з аналізу, якого витікає, що в циліндровій стінці при стаціонарному режимі теплопровідності зміна температури по її товщині підкоряється логарифмічному закону (див. рис. 2.5.).

Постійні інтегруваннязнаходимо, використовуючи граничні умови шляхом вирішення системи з двох лінійних рівнянь

.

Надаючи читачеві самостійно вирішити вищезгадану систему рівнянь алгебри, приведемо формулу зміни температурного поля в циліндровій стінці

Рис. 2.5. Стаціонарне температурне поле в циліндровій стінці

Тепловий потік, що проходить через циліндрову стінку завдовжки λ, розрахуємо за законом Фур'є

.

З аналізу останньої формули виходить, що тепловий потік не змінюється по товщині циліндрової стінки . У розрахунках теплопровідності через циліндрову стінку використовують тепловий потік, віднесений до довжини циліндрової стінки, – лінійну щільність теплового потоку

,(мК) /Вт

де – лінійний термічний опір теплопровідності циліндрової стінки.

У загальному випадку для будь-якого i – го шару багатошарової циліндро-вої стінки можемо записати

,

звідки витікає, що

Контрольні питання до роздіру 2:

1. Поясніть єство методики обчислення щільності теплового по­тока для багатошарової плоскої стінки і для процесу теплопередачі. Наведіть приклади періодичних нестаціонарних процесів теп­лопровідності.

2. Наведіть приклади і охарактеризуйте особливості процесу нестаціонарної теплопровідності при прагненні тіла до теплової рівноваги.

3. Запишіть диференціальне рівняння нестаціонарного процесу теплопровідності без внутрішніх джерел тепла.

4. Поясніть метод вирішення нестаціонарного рівняння теплопровід­ності для пластини.

5. Дайте визначення критеріїв Біо і Фур'є, поясніть їх фізичний сенс.

6. Що таке безрозмірна надлишкова температура?

7. Запишіть вирішення диференціального рівняння нестаціонарної теплопровідності в безрозмірному вигляді, поясніть його структуру.

8. Охарактеризуйте особливості вирішення диференціального рівняння нестаціонарної теплопровідності залежно від числа Фур'є.

9. Поясніть особливості точки перетину дотичних для вирішення нестаціонарного рівняння теплопровідності на поверхні пластини. Як вони залежать від числа Біо?

10. Як визначити час, необхідний для прогрівання середини пласти­ны до заданої температури в разі Fo > 0,3?

11. У якому випадку можна визначити температуру центру або поверх­ности пластини за допомогою номограм?

12. Охарактеризуйте залежність температурного поля в тілах различ­ной форми від величини числа Біо.

13. Схематично змалюєте розподіл надлишкової температури для безкі-нечної пластини залежно від діапазону значень числа Біо.

14. Поясніть методику визначення кількості теплоти, відданої (по­лученного) тілами в процесі охолоджування (нагрівання).

15. Поясніть залежність середньої безрозмірної надлишкової температу-ри тіла від чисел Біо і Фур'є.

16. Як визначається повна кількість теплоти, віддана (отримана) тілом при його охолоджуванні (нагріванні) до температури середовища?

17. На підставі якої теореми визначаються температури тіл кінцевих розмірів? Приведіть її формулювання.

18. Як визначається кількість теплоти, віддане (отримане) те­лами кінцевих розмірів в процесі охолоджування (нагрівання)?