Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно

• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме:

, или,

где— геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т — масса; — ускорение; — импульс; N — число сил, действующих на точку;

в координатной форме (скалярной):

, ,

или

,,,

где под знаком суммы стоят проекции сил, на соответствующие оси координат.

Сила гравитационного взаимодействия:

,

где G — гравитационная постоянная; m₁ и m₂ — массывзаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки;r — расстояние между ними.

Сила трения скольжения:

,

где— коэффициент трения скольжения;N— сила нормального давления.

• Сила упругости:

,

где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

—абсолютная деформация.

• Координаты центра масс системы материальных точек:

,,,

где m_i — масса i-й материальной точки; x_i, y_i;,z_i; — ее координаты.

• Закон сохранения импульса:

или,

гдеN — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой:

или ,

где — угол между направлениями векторов силыи перемещения.

• Работа, совершаемая переменной силой:

,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемойL.

• Средняя мощность за интервал времени :

.

• Мгновенная мощность:

или ,

где — работа, совершаемая за промежуток времениdt.

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

или .

• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

или ,

где— единичные векторы (орты). В частном случае, когдаполе сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

.

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

.

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m₁, и т₂, находящихся на расстоянии r друг от друга:

.

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии , гдеR — радиус Земли.

• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде:

.

Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

• Момент силы, действующей на тело, относительно оси вращения:

,

где — проекция силына плоскость, перпендикулярную оси вращения;l — плечо силы(кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

,

где т — масса точки; r— расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

,

где — массаi-го элемента тела;r_i— расстояние этого элемента от оси вращения; N— число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

.

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то

и ,

гдеV — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой т и длинойl	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
	Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусомR и массой т, распределенной по ободу	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусомR и массой т	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Однородный шар массой т и радиусомR	Проходит через центр шара

• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси:

,

где J₀— момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а— расстояние между осями; m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси:

.

• Закон сохранения момента импульса:

,

где L_i — момент импульсаi-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел:

где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия:— те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется:

,

где — начальный и конечный моменты инерции;— начальная и конечная угловые скорости тела.

•Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

,

где — момент силы, действующей на тело в течение времениdt;

J — момент инерции тела;— угловая скорость;— момент импульса.

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

,

где — угловое ускорение.

• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело:

,

где  — угол поворота тела.

• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

.

• Кинетическая энергия вращающегося тела

.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где — кинетическая энергия поступательного движения тела; υ— скорость центра инерции тела; ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.