Пример решения задачи 5

Условие. Груз весом Р движется вверх по шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол = 30с горизонтом. Коэффициент трения скольжения груза о плоскостьf = 0,1. В начальный момент груз находился в поло­жении М₀на расстоянииa = 8 м от начала координат и имел скоростьv₀=25 м/с. Определить уравнение движения груза в заданной системе координат (рис. 12).

Рис. 12

Решение:

1. Пусть тело в произвольный момент времени tзанимает положение М на наклонной плоскости. Освободим тело от связи (наклонной плоскости), заменив ее действие нормальной составляющей реакции Nи силой трения F_тр. Таким образом, к телу приложена система трех сил Р,N,F_тр, под действием которых совершается движение по шероховатой наклонной плоскости.

2.Примем тело за материальную точку. Проектируя основное уравнение динамики точки

на оси декартовых координат Оxи Оy(ось Оxсовпадает с направлением движения точки), получим два дифференциальных уравнения:

(1)

(2)

Здесь m –масса точки;–проекции ускорения точки на соответствующие оси.

Так как тело движется прямолинейно вдоль оси Оx, то проекция ускорения на ось Оy равна нулю. Следовательно, уравнение (2) примет вид

. (3)

По закону Кулона, сила трения определяется выражением

F_тр=fN

или, с учетом (3),

F_тр=f·P·cos.

Подставляя выражение для F_трв уравнение (1), получим

.

Поскольку

,

где –ускорение свободного падения тела (g=9,81 м/с²), то после очевидных преобразований получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Для понижения порядка уравнения произведем замену

(– проекция скорости тела на ось Ох), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

.

Разделив переменные, проинтегрируем дифференциальное уравнение с учетом того, что при t=0 v_x=v₀= 25 м/с:

(4)

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (4) еще раз, сделав замену и учитывая, что приt=0x=x₀=a:

(5)

Подставив в полученное выражение (4) значения заданных величин, окончательно получим следующее уравнение движения груза:

Задача 6. Тема «Применение теоремы об изменении кинетической энергии»

Данная задача посвящена исследованию движения механической системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме. Решение подобных задач рекомендуется осуществлять в такой последовательности:

1) изобразить систему в произвольный момент времени; показать на чертеже все действующие на систему силы (заданные и реакции связей);

2) записать теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме;

3) подсчитать кинетическую энергию системы в начальном и конечном положениях, выразив ее через скорость звена, движение которого требуется определить (или задано);

4) подсчитать сумму работ внешних и внутренних сил на искомых (или заданных) перемещениях точек системы, выразив их через перемещение того звена, движение которого определяется (или задано);

5) подставить полученные значения кинетической энергии и работ в формулу теоремы и найти искомую величину.

Условие.Однородный каток В весом Q и радиусомRсоединен гибкой невесомой и нерастяжимой нитью с грузом А весом Р (рис.13).Нить переброшена через невесомый блок О радиусомr. К оси С катка (см. рис.13, схемы 1 – 5),или к грузу А (см. рис.13, схемы 6 – 8),или к свободному концу нити (см. рис.13, схемы 9,10)приложена силаF, линейно зависящая от величины перемещения S.

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Рис. 13. Схемы к задаче 6

Каток катится без проскальзывания; коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f, момент сил сопротивления в подшипнике блока–М. Определить скорость груза А, когда он переместится на величину S.В начальный момент система находилась в покое.

Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 9.

Таблица 9

Цифра шифра	1-я цифра шифра			2-я цифра шифра			3-я цифра шифра
	r, см	S, м	M, Н м	Силы, кН			Номер схемы (рис. 13)	, град	f
				P	Q	F
1	12	2,1	120	1,1	3,1	8,1+0,5S	1	30	0,06
2	14	2,2	140	1,2	3,2	8,2+0,4S	2	45	0,07
3	16	2,3	160	1,3	3,3	8,3+0,3S	3	60	0,08
4	18	2,4	180	1,4	3,4	8,4+0,2S	4	30	0,09
5	20	2,5	200	1,5	3,5	8,5+0,1S	5	45	0,10
6	22	2,6	220	1,6	3,6	8,6+0,5S	6	60	0,06
7	24	2,7	240	1,7	3,7	8,7+0,4S	7	30	0,07
8	26	2,8	260	1,8	3,8	8,8+0,3S	8	45	0,08
9	28	2,9	280	1,9	3,9	8,9+0,2S	9	60	0,09
0	30	3,0	300	2,0	4,0	9,0+0,1S	10	30	0,10