Тема 2. Теория производства и предложения благ Типовые задачи с решениями

№ 1. Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией:

.

1. При каком количестве используемого труда достигается максимум: а) общего выпуска; б) предельной производительности (предельного продукта) труда; в) средней производительности (среднего продукта) труда.

2. Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед. труда.

Решение

1а. Функция от одной переменной достигает максимума, когда ее производная равна нулю. С учетом того, что L > 0, получаем:

.

1б. Предельная производительность труда

достигает максимума при 10 = 3L  L = 10/3.

1в. Средняя производительность труда

достигает максимума при L = 5.

2. По определению . При L = 5 средняя и предельная производительности равны 62,5; следовательно, 1.

№ 2. Фирма работает по технологии, отображаемой производствен­ной функцией Q = L^0,75K^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 144; r = 3. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.

Решение

а) . Условие равновесия фирмы MRTS_L,K = w/r.

.

Следовательно: .

б) → ;

в) ;

г) .

№ 3. Технология производства фирмы задана производственной функцией: Q = 20L^0,5. Цена труда w = 2, а цена продукции фирмы Р = 5. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.

Решение

а) В соответствии с технологией . Поэтому и .

По условию максимизации прибыли

;

б) TC = 500²/200 = 1250; в) AC = 1250/500 = 2,5;

г) MC = 500/100 = 5; д) L = 500²/400 = 625.

№ 4. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L^0,25K^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 2; r = 8 и продает свою продукцию по цене Р = 320. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы на капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки продавца.

Решение

а ) Условие равновесия фирмы:

.

В соответствии с технологией: . Следовательно,

.

Тогда . Из условия максимизации прибыли следует ;

б) LTC = 820² = 3200; в) LAC = 3200/20 = 160;

г) LMC = 1620 = 320; д) L = 2400 = 800;

е) K = 0,5400 = 200; ж) 20320 – 3200 = 3200;

з) 0,5•20•320 = 3200.

№ 5. Предприятие работает по технологии, описываемой производственной функцией: Q = L^αK^β, бюджетное ограничение имеет вид: C(Q) = wL + rK. Найти оптимум производителя (минимизация затрат в длительном периоде) методом Лагранжа.

Решение:

1. Функция Лагранжа имеет вид:

Ф = wL + rK + μ(Q - L^αK^β), где μ – множитель Лагранжа, переменная.

2. Продифференцировать функция Лагранжа по L, K, μ:

Последнее уравнение представляет собой производственное ограничение.

3. Решить уравнения для L, K и μ. В результате получаем:

№ 6. Фирма с функцией общих затрат

может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20.

1. Определите выпуск фирмы: а) минимизирующий средние затраты; б) максимизирующий прибыль.

2. Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли;

б) излишка производителя.

3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она получает максимум прибыли.

Решение

1а. .

1б. .

2а.  = 203 – 8 – 83 – 29 = 10.

2б.  = 203 – 83 – 29 = 18.

3. .

№ 7. При цене 8 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 10 кг яблок. Эластичность предложения по цене равна 1,6. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 12 ден. ед?

Решение

Общий вид линейной функции предложения: Q^S = m + nP. Для нее e^S = nP*/Q*  n = e^SQ*/P*; m = Q*(1 – e^S).

В условиях задачи n = 2; m = 6; следовательно, функция предложения имеет вид:

Q^S = –6 + 2P; при цене 12 объем предложения равен 18.

№ 8. На рынке имеются три продавца со следующими функциями предложения:

Определите эластичность рыночного предложения по цене, когда на рынке продается 11 ед. товара.

Решение

Для определения интервалов цен, соответствующих различным наклонам кривой рыночного предложения, перейдем от индивидуальных функций предложения к индивидуальным функциям цены предложения:

Следовательно, в интервале 0 < P  4 рыночное предложение представлено продавцом I; в интервале 4 < P  8 рыночное предложение равно сумме предложения I и III продавцов, и только после P > 8 рыночное предложение равно сумме всех трех продавцов:

Отсюда видно, что 11 ед. товара будет продано по цене Р = 5; тогда e^S = 35/11 = 15/11.

Рис. 2.1. Рыночное предложение как сумма индивидуальных

предложений