11. Вычисление площадей плоских фигур
Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
графиками функций x
= a,
x
= b,
y
= 0, y
= f(x)
(f(x)
0 при x
[a;
b]),
находится по формуле
.
Если фигура (D)
ограничена графиками функций x = a, x =
b, y = f(x), y = g(x), f(x)
g(x) при x
[a; b], то площадь S фигуры (D) находится по
формуле
.
Пример 23. Найти площадь S фигуры (D), ограниченной линиями y = –x2 + 2x + 2 и y = 2x + 1.
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций, для чего решим уравнение: –x2 + 2x + 2 = 2x + 1; x2 – 1 = 0; x1 = –1,
x2 = 1. Для всех точек x из отрезка [–1; 1] –x2 + 2x + 2 2x + 1. Поэтому
.
П
ример 24.
Найти площадь фигуры, ограниченной
эллипсом
.
Решение.
Эллипс имеет две оси симметрии:
координатные оси 0х и 0у. Поэтому площадь
S фигуры равна учетверённой площади S1
части (D1)
фигуры, расположенной в первой четверти
(заштриховано). Фигура (D1)
ограничена сверху линией
,
снизу – осью 0х, слева – осью 0у. Поэтому
.
Отсюда находим S = 4S1 = ab.
Площадь S
криволинейного сектора, ограниченного
графиком функции
и лучами
и
в полярной системе координат, находится
по формуле
.
Пример 25.
Найти площадь S фигуры, ограниченной
линией, заданной в полярной системе
координат уравнением
.
Решение.
Начнём с изображения линии. Так как
,
то нам нужно сначала решить неравенство
.
Имеем
,
,
.
При n = 0:
;
при n = 1:
;
при n = 2:
;
при n = 3:
– этот угол является повторением угла,
соответствующего значению n = 0. Рассмотрение
других значений приводит к уже полученным
углам на плоскости. Рассмотрим рисунок.
Наша фигура ограничена тремя лепестками.
Её площадь S равна 3S1,
где S1
– площадь одного лепестка (заштриховано).
Имеем
.
Отсюда находим S = 3S1= .
12. Вычисление длины дуги
Линия (L) в пространстве называется гладкой, если в каждой точке (L) можно провести касательную к этой линии. Если линия без самопересечений задана параметрическими уравнениями
то
дифференцируемость x(t),
y(t),
z(t)
гарантирует гладкость линии; аналогичное
утверждение справедливо для плоской
линии. Если линия без самопересечений
на плоскости с заданной полярной системой
координат определена полярным уравнением
,
то и в этом случае дифференцируемость
влечёт гладкость этой линии.
Если гладкая линия
(L) на плоскости (в пространстве) задана
параметрическими уравнениями
,
(и вдобавок к этому
для линии в пространстве),
,
то длина
линии (L) находится по формуле
(
).
Если гладкая линия
(L) задана явным уравнением
,
,
то
.
Для гладкой линии
(L), заданной полярными уравнениями,
,
.
Пример 26.
Найти длину
линии, заданной уравнением
,
,
.
Решение.
Имеем
.
Пример
27. Найти
длину дуги логарифмической спирали
,
находящейся внутри окружности
.
Решение. Дуге
спирали, лежащей внутри окружности
,
соответствуют значения
.
Поэтому
.