Тема 12. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов

Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Если объем выборки мал, то точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Вычисленная точечная оценка может быть близка к оцениваемому параметру, а может и очень сильно отличаться от него. Точечная оценка не несет информацию о точности процедуры оценивания.

Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала - и содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.

Пусть имеется выборка объема и- статистическая оценка неизвестного параметра(- случайная величина, т.к. найдена по выборочным данным).

Доверительным интервалом называется интервал со случайными границами (,), в котором с заданной вероятностьюнаходится оцениваемый параметр

Вероятность называетсядоверительной вероятностью.

Доверительная вероятность задается априорно. Чем ближе к единице, тем точнее оценка. Для практических целей обычно выбирают; 0,99 или 0,9973. Доверительная вероятность, например, 0,95 означает, что мы пренебрегаем возможностью появления события (считаем его невозможным), вероятность которого меньше 1-0,95=0,05.

Т.к. при различных выборках получаются различные значения оценки , то и доверительные границы изменяются от выборки к выборке. Поэтому лучше говорить не о вероятности попадания параметра в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал накроет параметр.

Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины с заданной надежностью в случае нормального закона распределения определяется на основе неравенств

,

где — значение аргумента функции Лапласа, получаемое из таблиц (см. Приложение 1), с учетом того, что;

—известное среднее квадратичное отклонение или его оценка;

—объем выборки.

Пример 1. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины , если известны ее среднее квадратическое отклонение , выборочное среднее и объем выборки.

Решение. По надежности из соотношениянаходим значение функции Лапласа:.

По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 1) находим . Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания, получаем

или .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти доверительный интервал с надежностью 0,8 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины со средне квадратическим отклонением , выборочным средним и объемом выборки.

2. На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равным 50 кг. Предположив распределение веса нормальным и определив несмещенную оценку выборочной дисперсии , найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью а)0,8; б) 0,9; в) 0,95.

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом и найдено выборочное среднее, равное 30. Получено также несмещенное значение выборочной дисперсии. Предположив распределение случайной величины нормальным, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью а) 0,8 и б) 0,9.

4. Случайная величина распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице

	3	5	7	8	10	12	14
	3	7	4	6	7	5	8

Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для оценки математического ожидания.

5. Случайная величина распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

	1	3	5	7	9
	2	5	4	6	3

Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания.