2. Основные законы распределения

В процессе решения статистических задач часто требуется выполнить сравнение двух величин, одна из которых вычисляется на основе выборочных характеристик (оценок среднего, дисперсии и т.д.), а другая является значением функции распределения одной из статистик (или квантилью этой статистики – значением функции, обратной к функции распределения).

Наиболее распространенные статистики являются моделями типичных задач теории вероятностей, возникающих в практических ситуациях.

В связи с задачей о совместном влиянии случайных величин возникает важнейшее распределение, называемое нормальным. Именно, если величинаXявляется суммой большого числа независимых случайных величин, то плотность распределения величиныXимеет вид

,

(2.11)

где mи– константы, равные математическому ожиданию и стандартному отклонению случайной величиныX. Еслиm = 0 и= 1, то распределение называютстандартным(илинормированным)нормальным распределением.

График плотности вероятности ( 2 .11) нормального распределения называется нормальной кривой(иликривой Гаусса). Выражение ( 2 .11) определяет четную функцию относительно разности, поэтому нормальная кривая симметрична относительно прямой. Медиана и мода нормального распределения совпадают с математическим ожиданием. По мере удаления от точкиплотность быстро уменьшается и приасимптотически приближается к нулю. При изменении математического ожиданияmнормальная кривая смещается вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. При уменьшениикривая становится более «островершинной», сжимаясь вдоль оси абсцисс; при увеличениикривая становится более «пологой».

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на данный интервал

,

(2.12)

где –функция Лапласа:

.

(2.13)

Иногда функцией Лапласа называют функцию

.

Если (из таблиц) известно значение именно этой функции, то правую часть соотношения ( 2 .12) необходимо разделить на 2.

Известным может оказаться значение интеграла ошибок:

.

Функция Лапласа связана с ним соотношением

.

(2.14)

Начиная с t = 2 можно применять асимптотическую формулу

.

(2.15)

При t = 2 соотношение ( 2 .15) дает абсолютную погрешность около 0,004; приt = 3 погрешность уменьшается до 10^-4.

Наиболее важную роль в математической статистике играет распределение Пирсона, иначе называемое-распределением. Этому распределению подчинена сумма квадратовkнезависимых случайных величин:

,

(2.16)

каждая из которых, в свою очередь, распределена по стандартному нормальному закону. Плотность -распределения

,

(2.17)

где –гамма-функция:

.

(2.18)

Графики плотности -распределения приведены на рис. 2 .1.

Рис. 2.1. Плотность -распределения для различного числа степеней свободы

С увеличением числа степеней свободы плотность ( 2 .17) приближается к плотности нормального закона. Справедлива асимптотическая формула

,

(2.19)

где – функция стандартного нормального распределения.

Распределением Стьюдентасkстепенями свободы называется распределение случайной величины:

,

(2.20)

где U– случайная величина, подчиненная стандартному нормальному закону,Y– случайная величина, подчиненная‑распределению сkстепенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента

.

(2.21)

Графики функции ( 2 .21) для различного числа степеней свободы изображены на рис. 2 .2.

Рис. 2.2. Плотность распределения Стьюдента

Распределением Фишера, илиF-распределениемсmиnстепенями свободы называется распределение случайной величины

,

(2.22)

где ,– случайные величины, подчиненные‑распреде­лениям со степенями свободыmиn, соответственно.

Плотность F-распределения:

,

(2.23)

где

– бета-функция.

Графики ( 2 .23) изображены на рис. 2 .3.

Рис. 2.3. Плотность F-распределения