3. Проверка гипотезы о равенстве средних: случай неизвестных дисперсий

Если дисперсии генеральных совокупностей неизвестны и не предполагаются равными, то можно приближенносчитать, что статистика

,

где

,

также подчинена распределению Стьюдента. Однако соответствующее число степеней свободы уже не является целым числом и определяется достаточно сложным образом:

,

где

,

– несмещенные оценки стандартных отклонений.

4. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

Дисперсия признака, как и связанные с ней характеристики – стандартное отклонение и коэффициент вариации – характеризуют такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов и т.д.

Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности с неизвестными дисперсиями и. Необходимо проверить нулевую гипотезуH₀:о равенстве дисперсий.

Задача проверки сводится к сравнению несмещенных оценок генеральных дисперсий

,.

В случае справедливости нулевой гипотезы статистика, равная отношению этих оценок

,

(5.27)

подчинена распределению Фишера (F-распределению) с числом степеней свободы,.

Распределение Фишера несимметрично относительно своего математического ожидания. Функция F-распределения:

,

где

– неполная бета-функция.

Вероятность критического события находится различным образом в зависимости от того, относительно какой из альтернатив (одностороннейилидвусторонней) проверяется нулевая гипотеза. Если проверка выполняется относительно двусторонней альтернативыH₁:, то вероятность критического события находят по формуле

,

где

.

5. Использование средствMsExcelдля проверки гипотезы о равенстве средних: случай известных равных генеральных дисперсий

Пусть из генеральных совокупностей с известнымистандартными отклонениямиизвлечены выборки объемом.

Пусть стандартные отклонения помещены в ячейкиA1иB1, а варианты заполняют строки со второй по сто первую (ячейкиA2:A101иB2:B101, соответственно).

Найдем выборочные средние. В ячейку C1введем формулу

=СУММ(A2:A101)/100

и переместим маркер автозаполнения до ячейки D1.

Вычислим значение связанной с разностью средних статистики, подчиненной стандартному нормальному распределению. В ячейку G3введем

=(C1-D1)/(A1^2/100+B1^2/100)^0,5

Вероятность критического события можно найти, воспользовавшись функцией рабочего листа НОРМСТРАСП, возвращающей функцию распределения стандартного нормального закона. В ячейкуG4введем

=2-2*НОРМСТРАСП(ABS(G3))

Окончательный результат:

В данном примере вероятность критического события

,

поэтому на уровне значимости 0,05гипотеза о равенстве средних должна быть отвергнута.

6. Использование средствMsExcelдля проверки гипотезы о равенстве средних: случай неизвестных равных генеральных дисперсий

Пусть из генеральных совокупностей выборки объемом . Пусть варианты заполняют строки с первой по сотую (ячейкиA1:A100иB1:B100, соответственно).

Для нахождения выборочных средних и выборочных дисперсий удобнее воспользоваться пакетом анализа. Из меню Сервисследует выбратьАнализ данных, далее –Описательная статистика. В качестве входного интервала следует указать два первых столбца (ячейки$A$1:$B$100). Результаты анализа можно поместить начиная с ячейкиC1; установить флажокОписательная статистика.

Найдем смешанную оценку

дисперсии разности выборочных средних. В ячейку G16введем

=1/(D15+F15-2)*(1/D15+1/F15)*((D15-1)*D8+(F15-1)*F8)

Для вычисления статистики

в ячейку G17введем

=(D3-F3)/G16^0,5

Вычислим вероятность критического события. В ячейку G18введем

=СТЬЮДРАСП(ABS(G17);D15+F15-2;2)

Окончательный результат:

Вероятность критического события

,

и на уровне значимости 0,05гипотеза о равенстве средних должна быть отвергнута.