Поверхневі інтеграли

Нехай функція визначена і обмежена на гладкій поверхні S. Розіб'ємо поверхню S на «елементарні» поверхні , площі яких . Нехай – найбільший з діаметріві – довільна точка поверхні . Тоді, якщо існує границя: яка не залежить ні від вибору точок ні від розбиття, то її називають поверхневим інтегралом 1-го роду функціїпо поверхніі позначають:

Методи обчислення:

1. Нехай поверхню задано параметрично

де D – область в системі координат , яка відповідає поверхні,

Обчислимо визначник:

=.

В диференціальній геометрії прийнято позначати вираз I через E, II – через F, III – через G. Числа E,F,G називають гаусовими коефіцієнтами поверхні.

Тоді, поверхневий інтеграл має вигляд:

2. Нехай поверхню задано явно . Нехай облаcть – це область у площині , яка відповідає нашій поверхні, тоді:

Застосування поверхневих інтегралів першого роду

1. Обчислення площі поверхні.

Якщо поверхню задано параметрично, то

2. Застосування в механіці.

Нехай вздовж поверхні розподілено масу, тобто, в кожній точці поверхні відома густина. Тоді справедливі формули:

3. Тяжіння простого шару.

Нехай на поверхні неперервним чином розподілено маси з заданою в будь-якій точці на поверхні густиною .Нехай в точці , яка розташована поза поверхнею, знаходиться одиниця маси. Потрібно визначити, з якою по величині і напрямку силою точка притягується поверхнею . Проекція цієї сили визначається формулами:

Якщо точка лежить на поверхні, то проекція сили на вісі координат дають невласні інтеграли, оскільки поблизу точки підінтегральні функції будуть необмеженими.

Поверхневий інтеграл другого роду.

Розглянемо деяку поверхню в тривимірному просторі. Нехай– проекція на площину. Тобто, будь-якійвідповідає. Тоді, розбиваючи областьна елементарні області ми розіб’ємо і поверхнюна елементарні поверхні. Розглянемо елементарну поверхню , їй відповідає область  Розглянемо точку , знайдемо значення функції у цій точці, тобто:.Помножимо значення цієї функції на площу і складемо суму

Якщо існує границя цієї інтегральної суми при прямуванні найбільшого діаметру до нуля, то її називаютьповерхневим інтегралом другого роду, розповсюдженим на вибрану сторону поверхні і позначають:

Будемо вважати, що на поверхні визначені і неперервні функціїі також обрано орієнтацію, тоді можна розглянути інтеграли:

інтеграл називають в поверхневим інтегралом другого роду.

Цей інтеграл можна записати через поверхневий інтеграл першого роду:

які утворюють нормалі до поверхонь з вісями координат при обраній орієнтації, тобто можна вважати, що

Якщо поверхню задано параметрично, то вірна формула:

Таким чином ми можемо звести поверхневий інтеграл другого роду до поверхневого інтегралу першого типу і до подвійного.

Поверхневі інтеграли можна використовувати також для обчислення об’ємів тіл:

Зв’язок між потрійними та поверхневими інтегралами. Формула Остроградського-Гауса

Нехай тіло обмежене гладкою поверхнею, функції,–неперервні в цій області неперервні в цій області разом зі своїми похідними.

Тоді вірна формула Остроградського-Гауса: