Matanaliz

Розв’язання. Оскiльки множина точок розриву функцiї f є пiдмножиною множини P0, а mP0 = 0, то iнтеграл Рiмана iснує. А отже,

де P0 — канторова множина.

Розв’язання. Оскiльки функцiя f(x) еквiвалентна функцiї

261

яка кусково неперервна, а, отже, iнтегровна за Рiманом, то

01/2

Завдання для самоконтролю.

1.Означити множину Кантора P0 i знайти її мiру Лебега.

2.Нехай 0 < a < 1. Побудуємо множину D з допомогою такої процедури. За першим кроком з сегмента [0, 1] вилу-

чимо серединний iнтервал (iнтервал з центром у серединi вiдрiзка [0, 1]) довжини a2 . На другому кроцi з кожного вiдрiзка, що залишились, вилучимо серединний iнтервал довжини 2a3 . На n-му кроцi з кожного з 2n−1 вiдрiзкiв, що залишились, вилучимо серединний iнтервал довжини

a

22n−1 . Множина точок вiдрiзка [0, 1], якi залишаться пiсля зчисленного числа крокiв, i є множина D. Знайти її мiру.

3.Довести, що множина E (E [A, B]) i функцiя

(характеристична функцiя множини E) одночасно або вимiрнi, або нi.

4.Приведiть приклад функцiї, яка iнтегровна за Лебегом, але не iнтегровна за Рiманом.

262

5.Обчислити iнтеграл Лебега функцiї f(x) на вiдрiзку [0, 1], якщо f(x) = 10 у точках канторової множини P0, а на сумiжних iнтервалах графiком функцiї є верхнi пiвкола, якi опираються на цi iнтервали, як на дiаметри.

6.Довести, що коли

(

0, якщо x P0,

f(x) =

n, якщо x належить iнтервалу n-го рангу,

то

Z

(L) f(x)dm(x) = 3 .

[0,1]

263

19 ЛЕКЦIЯ: Застосування iнтегрального чис-

лення до розв’язування задач геометрiї

Обчислення площ плоских фiгур. Обчислення довжини дуги кривої. Обчислення об’ємiв тiл. Обчислення площ поверхонь тiл.

Лiтература. [1], ч. 1, с. 248–264, ч. 2, с. 160–166; [2], ч. 1,

с.379–389, ч. 2, с. 135–136, 188–194; [3], т. 1, с. 413–438, т. 2,

с.159–161; [10], с. 189–214.

Важливим класом задач, при розв’язуваннi яких iстотно використовується iнтеграл Рiмана, є задачi, пов’язанi з обчисленням певних величин (площi фiгури, довжини кривої, роботи, яку виконує певна сила тощо). У таких задачах метод обчислення органiчно пов’язаний з означенням такої величини.

Так при обчисленнi площ плоских фiгур виходять з того, що вiдомо характеристичнi властивостi площ i площi найпростiших геометричних фiгур, i на пiдставi цього будують процедуру обчислення площi заданої фiгури (наприклад, криволiнiйної трапецiї). Результатом цiєї процедури (завершується вона, як правило, граничним переходом) є деяке число, яке й приймають за площу фiгури, тобто нiби хiд думки спрямовуємо у зворотньому напрямку, перетворюючи метод обчислення площi в її означення, не перевiряючи, як правило того, що таке означення площi задовольняє її характеристичнi властивостi, але використовують це у разi потреби.

Зауваження. Оскiльки iнтеграл Рiмана є адитивною функцiєю на класi множин, вимiрних за Жорданом, то при поданнi певної адитивної величини через iнтеграл не складають iнтегральних сум, а знаходять так званий диференцiальний елемент (диференцiал) цiєї величини, який iнтегрують на заданiй множинi (у такому розумiннi iнтеграл можна вважати неперервним аналогом суми, а метод обчислення — аналогом методу неподiльних Кавальєрi).

264

1. Обчислення площ плоских фiгур.

Множину точок площини, аналiтичне подання якої має вигляд

D = {(x, y) | a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x)},

де f(x) — неперервна на вiдрiзку [a, b] функцiя, називають криволiнiйною трапецiєю.

Будемо вважати, що така фiгура має площу, якщо iснує спiльна границя площ многокутникiв, вписаних у цю фiгуру, i площ многокутникiв, описаних навколо неї, причому многокутники будемо будувати у такий спосiб (Рис. 12).

Задамо розбиття

τ = {x0, x1, . . . , xn},

де a = x0 < x1 < · · · < xn = b, вiдрiзка [a, b] на частини, i на кожному елементарному вiдрiзку побудуємо два прямокутники з основою [xk−1; xk] i

висотами вiдповiдно

Рис. 12

(останнi iснують, оскiльки функцiя f неперервна на вiдрiзку [a; b]). Тодi площа многокутника, складеного з прямокутникiв

dk = {(x, y) | xk−1 6 x 6 xk, 0 6 y 6 mk},

n

X

дорiвнює mk4xk, а площа многокутника, складеного з пря-

k=1

мокутникiв

Dk = {(x, y) | xk−1 6 x 6 xk, 0 6 y 6 Mk},

265

n

X

дорiвнює Mk4xk.

k=1

Якщо iснують

XX

де λ(τ) — дiаметр розбиття τ, i рiвнi мiж собою, то їх спiльне значення називають площею криволiнiйної трапецiї D (саму фiгуру D називають квадровною фiгурою) i позначають S(D).

Проблема iснування площi у даному випадку негайно знiмається, якщо врахувати, що суми

nn

XX

mk4xk, Mk4xk

є вiдповiдно нижньою i верхнею сумами Дарбу, побудованими для функцiї f за розбиттям τ, i що кожна неперервна на вiдрiзку функцiя є iнтегровною на ньому. Таким чином,

XX

а, отже, площа криволiнiйної трапецiї D обчислюється за формулою

a

На пiдставi властивостi адитивностi площi за площу фiгури

D = {(x, y) | a 6 x 6 b, f(x) 6 y 6 g(x)},

266

де f(x), g(x) — неперервнi на вiдрiзку [a, b] функцiї, слiд прийняти число

Приклад 1. Обчислити площу спiльної частини двох фiгур, обмежених лiнiями x2 + y2 = 25, (x − 8)2 + y2 = 25.

Розв’язання. Очевидно, що даними рiвняннями задаються два кола з центрами вiдповiдно у точках O(0, 0), C(8, 0) i радiусом r = 5. Перетинаються цi кола у точках A(4, 3) i

B(4, −3) (Рис. 13).

Тодi

Отже,

Рис. 13

267

= 50(arcsin 1 − arcsin 45) − 50 · 45 · 35 = 50 arcsin 35 − 24 ≈

≈ 50 · 0, 6435 − 24 = 8, 175.

Нехай межа плоскої фiгури D є кусково-гладкою замкненою кривою, заданою параметрично рiвняннями x = ϕ(t), y = ψ(t), де ϕ, ψ — неперервно диференцiйовнi функцiї на вiдрiзку [α, β], за винятком, можливо, скiнченного числа точок. Вважаємо, що точка M(ϕ, ψ) при змiнi t у межах вiд α до β пробiгає межу фiгури D, залишаючи її злiва вiд напрямку руху. Тодi площа фiгури D може бути обчисленою за однiєю з формул

268

ρ = ρ(ϕ), де функцiя ρ визначена i неперервна на вiдрiзку [α, β]. Ця крива i два полярнi радiуси, проведенi пiд кутами α i β, є межами фiгури, яку назвемо сектором кривої ρ = ρ(ϕ). Диференцiальним елементом є площа кругового сектора з радiусом

2. Обчислення довжини кривої.

Нехай плоска крива задана параметрично рiвняннями x = ϕ(t), y = ψ(t), де ϕ, ψ — неперервнi на вiдрiзку [α, β]. Якщо розглядати параметр t як час, то рiвняння x = ϕ(t), y = ψ(t), α 6 t 6 β, визначають закон руху точки M з координатами x i y на площинi, а крива є траекторiєю рухомої точки. Отже, довжину кривої можна розглядати як шлях пройдений рухомою точкою.

Вважатимемо, що крива гладка, тобто функцiї x = ϕ(t), y = ψ(t) на вiдрiзку [α; β] мають неперервнi похiднi, якi з фiзичної точки зору задають вектор швидкостi ~v(t) = (ϕ0(t), ψ0(t)) у кожний момент t з часового промiжку [α, β].

Якщо позначити через s(t1, t2) шлях пройдений точкою за промiжок часу [t1; t2], то зрозумiло, що для будь-яких трьох моментiв часу t1, t2, t3 (α 6 t1 < t2 < t3 6 β)

s(t1, t3) = s(t1, t2) + s(t2, t3)

269

Якщо крива є графiком неперервно диференцiйовної на вiдрiзку [a, b] функцiї y = f(x), то формула (19.6) має вигляд

i, нарештi, якщо крива задана в полярних координатах ρ = ρ(ϕ),

α 6 ϕ 6 β, то

Приклад 2. Довести, що кардiоїда ρ = a(1 − cos ϕ) i одна арка циклоїди x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) мають однакову довжину

270