Matanaliz

або e2i(π2 +T ) = −1. Звiдси 2i π2 + T = Ln(−1) або i(π + 2T ) = i(π + 2kπ), де k Z, тобто T = kπ, а оскiльки cos T = cos 0 = 1,

то k має бути парним, тобто T = 2nπ. А це й означає, що 2π основний перiод функцii cos z.

Теорема 24.5 (теорема додавання). Для будь-яких z0, z00

C

cos(z0 + z00) = cos z0 cos z00 − sin z0 sin z00,

(24.10)

sin(z0 + z00) = sin z0 cos z00 + cos z0 sin z00.

Доведення. Оскiльки

cos(z0 + z00) + i sin(z0 + z00) = ei(z0+z00) = eiz0eiz00 = = (cos z0 + i sin z0)(cos z00 + i sin z00) =

cos z0 cos z00 − sin z0 sin z00 + i(cos z0 sin z00 + sin z0 cos z00), cos(z0 + z00) − i sin(z0 + z00) = e−i(z0+z00) = e−iz0e−iz00 = = (cos z0 − i sin z0)(cos z00 − i sin z00) =

cos z0 cos z00 − sin z0 sin z00 − i(cos z0 sin z00 + sin z0 cos z00),

то якщо скласти цi рiвностi, отримаємо першу рiвнiсть з (24.10). Якщо ж вiд першої вiдняти другу, то отримаємо другу рiвнiсть з (24.10).

Зауваження. З (24.10). легко одержати основну тригонометричну тотожнiсть i формули зведення.

Теорема 24.6. Функцiї cos z i sin z необмеженi.

Доведення. Покладемо z = x + iy i знайдемо | cos z| i | sin z|. Оскiльки

361

Доведення. Оскiльки для функцiї cos z

Отже, для функцiї cos z умови Кошi-Рiмана виконуються i функцiя cos z диференцiйовна на всiй комплекснiй площинi, тобто вона аналiтична у кожнiй точцi комплексної площини. ◦ї похiдна

cos0 z = ∂u∂x + i∂x∂v = − sin x ch y − i cos x sh y = − sin z.

Аналогiчно обгрунтовується аналiтичнiсть функцiї sin z i те, що sin0 z = cos z.

Означимо функцiю w = Arccos z як обернену до функцiї z = cos w. iншими словами, w = Arccos z для кожного z є множина розв’язкiв рiвняння cos w = z. При фiксованому z маємо

12(eiw + e−iw) = z

√

або t2 − 2zt + 1 = 0, де t = eiw. Звiдси t = z + z2 − 1, причому t 6= 0. Отже, √

eiw = z + z2 − 1

363

i

w = 1i Ln(z + √z2 − 1).

√

Якщо z 6= ±1, то z2 − 1 має два коренi i t має два рiзнi значення t1 i t2, причому t1t2 = 1. Тодi множина Arccos z є об’єднанням

двох множин −i Ln t1, −i Ln t2 = −i Ln 1 = i Ln t1, i її запису-

t1

ють у виглядi Arccos z = ±i Ln t1. Якщо z = 1 або z = −1, то t1 = t2 = z, i Arccos 1 = −i Ln 1 = −i · 2nπi = 2nπ, де n Z, Arccos(−1) = −i Ln(−1) = −i(π + 2nπ)i = (2n + 1)π, де n Z. Якщо ж z = x i −1 < x < 1, то поклавши x = cos θ, де 0 < θ < π, маємо:

Arccos z = ±i Ln(cos θ + i sin θ) = ±i Ln eiθ =

=±i(θ + 2nπ)i = ±θ + 2nπ =

=± arccos θ + 2nπ, де n Z.

Аналогiчно означається функцiя w = Arcsin x як обернена до функцiї z = sin w. Для неї маємо формулу

Arcsin z = 1i Ln(iz + √1 − z2),

а для z = x, де −1 6 x 6 1,

Arcsin x = (−1)n arcsin x + nπ, де n Z.

На завершення декiлька зауважень щодо розв’язування тригонометричних рiвнянь i нерiвностей. Тригонометричним рiвнянням (нерiвнiстю) називається рiвняння (нерiвнiсть), у якому невiдомi мiстяться тiльки пiд знаками тригонометричних функцiй. Наприклад, тригонометричне рiвняння з одним невiдомим має вигляд f(sin x, cos x) = 0, де f(u, v) — функцiя двох змiнних, як правило, алгебраїчна. Основним методом розв’язування тригонометричних рiвнянь є зведення його за допомогою тотожнiх

364

перетворень до одного або декiлькох найпростiших тригонометричних рiвнянь, тобто рiвнянь виду:

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Рiвняння sin x = a, cos x = a мають розв’язки, якщо |a| 6 1, причому множинами їх розв’язкiв будуть вiдповiдно множини:

{(−1)n arcsin a + nπ | n Z}, {± arccos a = 2nπ | n Z}.

Рiвняння tg x = a, ctg x = a мають розв’язки при будь-якому a R, причому множинами їх розв’язкiв будуть вiдповiдно множини:

{arctg a + nπ | n Z}, {arcctg a + nπ | n Z}.

Серед методiв розв’язування тригонометричних рiвнянь назвемо: зведення до рiвняння вiдносно однiєї функцiї того самого аргумента (цим методом розв’язуються, наприклад, рiвняння, однорiднi вiдносно синуса i косинуса того самого аргумента), розкладання лiвої частини на множники (права дорiвнює нулевi), перетворення добуткiв тригонометричних функцiй у суми.

Звичайно при розв’язуваннi тригонометричних рiвнянь може порушитись еквiвалентнiсть як за рахунок алгебраїчних перетворень так i за рахунок переходу вiд тригонометричних функцiй, якi визначенi не при всiх значеннях невiдомого, до функцiй, якi визначенi при всiх значеннях невiдомого. Розв’я- зуючи тригонометричнi рiвняння, слiд не допускати втрати коренiв i обов’язково перевiряти розв’язки тих рiвнянь, при розв’язуваннi яких могли виникнути стороннi коренi. Розв’я- зування тригонометричних нерiвностей, як правило, зводиться до розв’язування найпростiших нерiвностей виду: sin x < a, cos x > a i т.д., якi розв’язуються або з допомогою координатного кола, або з допомогою графiкiв тригонометричних функцiй. Досить часто, тригонометричнi нерiвностi (як i алгебраїчнi)

365

розв’язуються методом iнтервалiв. А саме, при розв’язуваннi нерiвностi, наприклад, f(t) > 0 знаходять основний перiод T функцiї f(t). З множини розв’язкiв рiвняння f(t) = 0 беруть тiльки тi, якi належать промiжку [0; T ). Дослiджують функцiю f(t) на знак на кожному з iнтервалiв, на якi подiлили промiжок [0; T ) коренi рiвняння f(t) = 0 та її точки розриву. Якщо, наприклад, нерiвнiсть f(t) > 0 виконується на iнтервалi

S

(α; β), то вона буде виконуватись на множинi (α+nT ; β+nT ).

n Z

Приклад 3. Розв’язати рiвняння

4 sin4 x + cos 4x = 1 + 12 cos4 x.

Розв’язання. Врахувавши, що cos 4x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1, перейдемо до рiвняння

4 sin4 x − 4 cos4 x − 8 cos2 x = 0.

Далi

sin4 x − cos4 x − 2 cos2 x(cos2 x + sin2 x) = 0,

вiд якого переходимо до однорiдного рiвняння

sin4 x − 2 sin2 x cos2 x − 3 cos4 x = 0.

Оскiльки x, при якому cos x = 0 не може бути розв’язком останнього рiвняння, то воно еквiвалентне рiвнянню

tg4 x − 2 tg2 x − 3 = 0.

√

Звiдси дiстаємо два найпростiших рiвняння tg x = 3,

√

tg x = − 3. Отже, X = {π3 (3n + 1) | n Z} множина розв’язкiв заданого рiвняння.

Приклад 4. Розв’язати нерiвнiсть

sin 2x − sin 3x > 0.

366

Розв’язання. Оскiльки перiод функцiї sin 2x дорiвнює π, а функцiї sin 3x — 23π , то основний перiод функцiї sin 2x − sin 3x дорiвнює 2π. Промiжку [0; 2π) належать такi коренi рiвняння sin 2x − sin 3x = 0:

0, π5 , 35π , π, 75π , 95π .

Оскiльки функцiя sin 2x − sin 3x неперервна на R, то дослiджувати її на знак слiд на iнтервалах:

(0; π5 ), (π5 ; 35π ), (35π ; π), (π; 75π ), (75π ; 95π ), (95π ; 2π).

З допомогою пробних точок встановлюємо, що задана нерiвнiсть виконується на iнтервалах

де a, b, c — сторони трикутника, α — кут, що лежить проти сторони a, 2p = a + b + c.

367

8. Розв’язати рiвняння

а) sin z + sin 2z = 0;

б) cos z = i;

в) sin z + cos z = 2.

369

25 ЛЕКЦIЯ: Метричнi простори. Елементи аналi-

зу у метричних просторах

Поняття метричного простору. Приклади метричних просторiв. Збiжнi послiдовностi у метричних просторах. Вiдображення (оператори, функцiонали) метричних просторiв. Границя i неперервнiсть функцiї у метричному просторi.

Лiтература. [1], ч. 3, с. 97–104, 120–126; [2], ч. 2, с. 11–17, 25–30, 38–44; [3], т. 3, с. 96–111; Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972, с. 44–52; Maurin K. Analysis, P. 1 – Warshawa, Polish scientific Publishes, 1976, p. 31–50.

Побудова аналiзу нечислових функцiй f : X → Y потребує надiлення множин X i Y певними властивостями, основним джерелом яких є, насамперед, геометрiя (простiр, вiдстань мiж точками, вектор i його модуль, операцiї над векторами тощо). Найважливiшою з них є можливiсть визначити вiдстань мiж елементами множини. Адже саме поняття вiдстанi дає можливiсть ввести основну операцiю аналiзу граничний перехiд у нечисловi множини (множини n-ок чисел, множини послiдовностей, множини функцiй, визначених на деякому промiжку тощо).

Означення 25.1. Говорять, що непорожня множина X надiлена метрикою (мiж елементами множини X задано вiдстань), якщо задано вiдповiднiсть, яка кожнiй парi елементiв x i y з X вiдносить число d(x, y) i задовольняє такi умови:

1)( x, y X)(d(x, y) > 0 d(x, y) = 0 x = y);

2)( x, y X)(d(x, y) = d(y, x)) (аксiома симетрiї);

3)( x, y, z X)(d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)) (аксiома трикутника).

370