Matanaliz

Доведення. Оскiльки для кожного k a2k−1 − a2k >, то кожна часткова сума парного порядку

S2k = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · + (a2k−1 − a2k) > 0.

Якщо ж кожну часткову суму парного порядку подати у виглядi

S2k = a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − · · · − (a2k−2 − a2k−1) − a2k,

то очевидно, що для кожного k S2k < a1, тобто послiдовнiсть (S2k) обмежена зверху. Звiдси випливає, що послiдовнiсть (S2k)збiжна i нехай

lim S2k = S.

k→∞

Врахувавши, що для кожного k S2k+1 = S2k + a2k+1, i що

lim a2k+1 = 0, дiстаємо, що i послiдовнiсть часткових сум не-

k→∞

парного порядку теж збiжна i

lim S2k+1 = S.

k→∞

Тодi можна стверджувати, що для будь-якого ε > 0 iснує номер k1 такий, що для всiх k > k1 виконується нерiвнiсть |S2k−S| < ε, i для цього ж ε iснує номер k2 такий, що для всiх k > k2 виконується нерiвнiсть |S2k+1 −S| < ε. Якщо n0 = max(2k1, 2k2 + 1), то кожне n > n0 буде бiльшим i 2k1, i 2k2 + 1, а отже, для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть |Sn − S| < ε. Останнє якраз

i означає, що lim Sn = S.

n→∞

Зауваження. Оскiльки послiдовнiсть (S2k) часткових сум парного порядку зростає, а послiдовнiсть (S2k+1) часткових сум непарного порядку спадає, то для будь-якого k виконується нерiвнiсть

S2k 6 S 6 S2k+1,

де S — сума ряду (27.7). Отже, для будь-якого n |Sn−S| 6 an+1.

421

Повернемось тепер до рядiв з комплексними членами i видiлимо клас рядiв, для яких питання збiжностi розв’язується через збiжнiсть рядiв з невiд’ємними членами.

Означення 27.3. Ряд

∞

X

n=1

називається абсолютно збiжним, якщо збiгається ряд

∞

X

|zn|. (27.9)

n=1

Очевидно, що коли ряд (27.9) збiгається, то збiгається ряд (27.8). А от якщо ряд (27.9) розбiгається, то не обов’язково ряд (27.8) має розбiгатись. Справдi, ряд

∞ (−1)n−1

X

n

n=1

задовольняє умовам теореми 27.4, а отже, збiгається. Разом з тим ряд, складений з абсолютних величин його членiв є гармонiйний ряд, тобто розбiжний.

Означення 27.4. Ряд (27.8) називається умовно збiжним, якщо вiн збiгається, а ряд (27.9) розбiгається.

Виявляється, що властивостi абсолютно збiжних рядiв багато у чому схожi на властивостi звичайних сум. Так, наприклад, у збiжному рядi його члени можна довiльним чином об’єднувати у групи, не порушуючи при цьому їх розташування. Як результат отримаємо збiжний ряд з тiєю ж сумою. А от щодо перестановки членiв збiжного ряду, то, взагалi кажучи, вона

422

може змiнити суму i навiть збiжний ряд перетворити на розбiжний.

Позначимо через

∞

X

n=1

ряд, складений з усiх членiв ряду (27.8), але взятi вони, взагалi кажучи, в iншому порядку.

Теорема 27.5. Якщо ряд (27.8) збiгається абсолютно, то i ряд (27.10) збiгається абсолютно i має ту ж суму, що i ряд (27.8).

Доведення. Нехай ряд (27.8) збiгається абсолютно, тобто збiгається ряд (27.9), i нехай

∞

n

P

Тодi послiдовнiсть (Sn) = ( |zn|) обмежена зверху i для ко-

жного n Sn6S. Розглянемо послiдовнiсть Sn часткових сум ряду

∞

X

|zn|. (27.11)

n=1

Очевидно, що якою б не була часткова сума Sm ряду (27.11),

iснує часткова сума Sn (m 6 n) ряду (27.9), яка мiстить всi

доданки з суми Sm. А отже,

Sm6Sn6S,

тобто послiдовнiсть (Sm) часткових сум ряду (27.11) обмежена зверху. Звiдси випливає, що ряд (27.10) абсолютно збiжний.

423

Доведемо, що коли

∞

X

zn = S,

n=1

то сума ряду (27.10) теж дорiвнює S. Оскiльки ряд (27.9) збiгається, то для будь-якого ε > 0, зокрема для 2ε, iснує n0 таке,

що залишок ряду пiсля члена з номером n0 буде менший, нiж ε, тобто

Виберемо тепер номер m0 (n0 6 m0) такий, щоб у частковiй

сумi Sm0 ряду (27.10) мiстились всi доданки з суми Sn0 . Тодi для всiх m > m0

|S − Sm| = |S − Sn0 + Sn0 − Sm| 6 |S − Sn0 | + |Sm − Sn0 | <

Таким чином, для будь-якого ε > 0 ми вказали номер m0 такий,

що для всiх m > m0 виконується нерiвнiсть |S − Sm| < ε. А це

∞

й означає, що P zn = S.

n=1

424

Можна довести, що ряд, складений з усiх можливих попарних добуткiв членiв двох абсолютно збiжних рядiв є абсолютно збiжний ряд, причому сума його дорiвнює добутку сум кожного

зцих рядiв.

Зумовно збiжними рядами так вiльно поводитись не можна.

n=1

збiгається умовно, то яким би не було дiйсне число A, члени цього ряду можна переставити так, що отримаємо ряд, сума якого дорiвнює A.

Завдання для самоконтролю.

1.Довести, що коли ряд збiгається, то будь-який його залишок збiгається. Якщо збiгається який-небудь залишок ряду, то i ряд збiгається.

2.Довести, що коли послiдовнiсть (an) збiжна, причому

lim an = 0, то для будь-якого ε > 0 iснує пiдпослiдов-

n→∞

∞

P

нiсть (ank ) така, що ряд ank збiгається i має суму s0,

k=1

причому |s0| < ε.

3. Довести, що коли iснує

p

lim n |zn| = l,

n→∞

∞

P

то при l < 1 ряд zn збiгається абсолютно, а при l > 1

n=1

вiн розбiгається.

4.Довести, що коли для послiдовностi (an) з додатними членами iснує

425

5. Дослiдити на збiжнiсть ряди:

n=1

абсолютно збiжнi. 7. Довести, що ряди:

умовно збiжнi.

426

28 ЛЕКЦIЯ: Степеневi ряди з дiйсними та компле-

ксними членами та їх застосування

Функцiональний ряд, його збiжнiсть та рiвномiрна збiжнiсть. Степеневий ряд, структура його областi збiжностi. Властивостi суми степеневого ряду. Розклад у степеневий ряд основних елементарних функцiй. Застосування степеневих рядiв до наближених обчислень.

Лiтература. [2] ч. 1, с. 301–305, 318–333, ч. 3, с. 249–251; [3] т. 1, с. 514–562; [4] с. 138–154; [9], ч. 2, с. 34–55.

Природним узагальненням числового ряду є функцiональний

ряд, тобто ряд виду

∞

X

n=1

де fn(z) (n = 1, 2, . . .), взагалi кажучи, функцiї комплексної змiнної. Якщо множина

∞

\

D = D(fn) C

n=1

непорожня, то казатимемо, що ряд (28.1) визначено на множинi D. Тодi кожнiй точцi z0 D вiдповiдатиме числовий ряд

∞

X

n=1

i якщо вiн збiжний, то казатимемо, що точка z0 є точкою збiжностi ряду (28.1), а якщо ряд (28.2) збiгається абсолютно, то z0 є точка абсолютної збiжностi ряду (28.1). Множину E всiх тих точок множини D, у яких ряд (28.1) збiгається називають його областю збiжностi. Вiдповiднiсть, яка кожному z E вiдносить суму вiдповiдного числового ряду, є функцiєю S(z), визначеною

427

на множинi E, яку називають сумою функцiонального ряду i

Особливу роль у теорiї функцiональних рядiв вiдiграє так звана рiвномiрна збiжнiсть. Кажуть, що функцiональний ряд (28.1) рiвномiрно збiгається до функцiї S(z) на множинi E, якщо для будь-якого ε > 0 можна вказати номер n0 такий, що для всiх n > n0 i будь-якого z E виконується нерiвнiсть

n

X

| fk(z) − S(z)| < ε.

додатними членами такий, що для кожного n i всiх z E виконується нерiвнiсть |fn(z)| 6 an, то ряд (28.1) абсолютно i рiвномiрно збiгається на множинi E.

Причина особливої ролi рiвномiрної збiжностi функцiонального ряду у тому, що для таких рядiв основнi властивостi, якими володiють всi члени ряду, мають мiсце i для суми ряду. Так, наприклад, якщо функцiональний ряд

∞

X

n=1

де fn(x) — функцiї дiйсної змiнної, рiвномiрно збiгається на вiдрiзку [a; b] i кожен член ряду є неперервна на цьому вiдрiзку функцiя, то його сума є неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя. У цьому випадку ряд (28.3) можна почленно iнтегрувати, причому

XX

428

Якщо ж у рядi (28.3) кожен член є неперервно диференцiйовна на вiдрiзку [a; b] функцiя, ряд

∞

X

f0(x)

n=1

рiвномiрно збiгається на вiдрiзку [a; b], а ряд (28.3) збiгається хоч в однiй точцi x0 [a; b], то останнiй ряд рiвномiрно збiгається на вiдрiзку [a; b], його сума

для всiх x [a; b].

Серед функцiональних рядiв найпростiшими є степеневi ря-

ди.

Означення 28.1. Степеневим рядом називається функцiональний ряд виду

n=0

де an (n = 0, 1, 2, . . .) — комплекснi числа, якi називають коефiцiєнтами ряду, z — комплексна змiнна.

Взагалi кажучи, степеневим рядом називають ряд виду

∞

X

n=0

429

де z0 — фiксоване комплексне число. Однак, коли у рядi (28.5) виконати замiну ζ = z − z0, то отримаємо ряд виду (28.4), тобто дослiдження ряду (28.5) можна звести до дослiдження ряду виду (28.4), i тому у подальшому мова буде йти про степеневi ряди виду (28.4).

Очевидно, що кожний степеневий ряд збiгається у точцi z = 0. А от щодо iнших точок збiжностi, то iнформацiю про структуру областi збiжностi можна дiстати з таких двох теорем.

Теорема 28.1 (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд (28.4) збiгається у точцi z0 6= 0, то вiн збiгається абсолютно для всiх z, у яких |z| < |z0|, а якщо розбiгається у точцi z0, то вiн розбiгається для всiх z, у яких |z| > |z0|.

∞

Доведення. Нехай числовий ряд P anz0n, збiгається. Тодi в

n=0

силу необхiдної умови збiжностi послiдовнiсть (anz0n) є нескiнченно малою, а отже, обмеженою. Тому iснує M > 0 таке, що для всiх n |anz0n| 6 M. Звiдси маємо, що для кожного n

∞

X

|anzn|

n=0

430