Matanaliz

є розв’язком рiвняння (30.2), який одержується iз (30.6) при C1 = C1(0), C2 = C2(0), . . . , Cn = Cn(0) i задовольняє початковi умови:

y(x0) = y0, y0(x0) = y00 , . . . , y(n−1)(x0) = y0(n−1).

А отже, за теоремою iснування i єдиностi y(x) ≡ ϕ(x) на iнтервалi (a; b). Таким чином, кожен розв’язок рiвняння (30.2) можна одержати iз (30.6) при певних значеннях довiльних сталих. А це й означає, що (30.6) є загальним розв’язком рiвняння (30.2).

Теорема 30.3. Якщо ϕ(x) — частинний розв’язок лiнiйного неоднорiдного рiвняння (30.1)

y(n) + P1(x)y(n−1) + · · · + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = Q(x),

де P1(x), . . . , Pn(x), Q(x) — неперервнi на iнтервалi (a; b) функцiї, а

n

X

y = Ck yk(x)

k=1

є загальний розв’язок вiдповiдного йому однорiдного рiвняння, то загальний розв’язок неоднорiдного рiвняння має вигляд

Доведення. Неважко перевiрити, що (30.7) є розв’язком рiвняння (30.1). Нехай ψ(x) розв’язок рiвняння (30.1), який задовольняє початковi умови: ψ(x0) = y0, ψ0(x0) = y00 , . . . , ψ(n−1)(x0) = y0(n−1). Скориставшись формулою (30.7), побудуємо таку систему n лiнiйних рiвнянь вiдносно невiдомих

471

Визначник цiєї системи W (x0) 6= 0. Отже, система має єдиний

розв’язок C1(0), C2(0), . . . , Cn(0) . Тодi

є розв’язком рiвняння (30.1), який одержується iз (30.7) при C1 = C1(0), C2 = C2(0), . . . , Cn = Cn(0) i задовольняє початковi умови:

y(x0) = y0, y0(x0) = y00 , . . . , y(n−1)(x0) = y0(n−1).

А отже, за теоремою iснування i єдиностi y(x) ≡ ψ(x) на iнтервалi (a; b). Таким чином, кожен розв’язок рiвняння (30.1) можна одержати iз (30.7) при певних значеннях довiльних сталих. А це й означає, що (30.7) є загальним розв’язком рiвняння (30.1).

Нехай маємо лiнiйне неоднорiдне рiвняння (30.1)

y(n) + P1(x)y(n−1) + · · · + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = Q(x)

i фундаментальну систему розв’язкiв y1(x), y2(x), . . . , yn(x) вiдповiдного йому однорiдного рiвняння

472

Тодi

n

X

y = Ck yk(x)

k=1

загальний розв’язок рiвняння (30.8). Будемо шукати розв’язок неоднорiдного рiвняння у виглядi

Оскiльки невiдомi функцiї C1(x), C2(x), . . . , Cn(x) мають задовольняти тiльки спiввiдношення, яке одержується при пiдстановцi (30.9) у рiвняння (30.1) , то на цi функцiї можна покласти ще n − 1 умову. Будемо вважати, що для (30.9)

що y1(x), y2(x), . . . , yn(x) розв’язки однорiдного рiвняння (30.8), одержимо

473

n

+P1(x)yk(n−1)(x) + · · · + Pn−1(x)yk0 (x) + Pn(x)yk(x) =

n

= XCk0 (x) yk(n−1)(x) = Q(x).

k=1

Тепер уже можна записати систему диференцiальних рiвнянь

Дана система вiдносно невiдомих C10 (x), C20 (x), . . . , Cn0 (x) є алгебраїчною лiнiйною неоднорiдною системою iз визначником

W (x) 6= 0, i якщо (w1(x), w2(x), . . . , wn(x)) її розв’язок, то

XX

є загальним розв’язком лiнiйного неоднорiдного рiвняння (30.1).

474

Приклад 1. Зiнтегрувати рiвняння

y00 + ω2y = sin ωx,

де ω > 0.

Розв’язання. Насамперед, безпосередня перевiрка дозволяє переконатись, що y1(x) = cos ωx, y2(x) = sin ωx є розв’язки одно-

y = ϕ(x) + C1 cos ωx + C2 sin ωx,

де ϕ(x) — поки-що невiдомий розв’язок заданого рiвняння, C1, C2 — довiльнi сталi, є загальним розв’язком цього рiвняння. Скориставшись методом варiацiї довiльних сталих, запише-

Звiдси, наприклад,

475

частинний розв’язок заданого рiвняння, а

є його загальний розв’язок.

Знання фундаментальної системи розв’язкiв забезпечує можливiсть знайти будь-який розв’язок лiнiйного однорiдного рiвняння, а подальше застосування методу варiацiї довiльних сталих — будь-який розв’язок неоднорiдного рiвняння. Отож природним є питання про ефективнi методи побудови такої системи.

Ще Л. Ейлер довiв, що для лiнiйного однорiдного рiвняння виду

де a1, a2, . . . , an R, знаходження фундаментальної системи розв’язкiв зводиться до розв’язування певного алгебраїчного рiвняння. Справдi, якщо за його рекомендацiєю шукати розв’язок рiвняння (30.10) у виглядi

то, врахувавши, що

y(k) = λkeλx,

прийдемо до висновку, що (30.11) є розв’язок рiвняння (30.10) тодi i тiльки тодi, коли

eλx(λn + a1λn−1 + · · · + an−1λ + an) = 0

або

Алгебраїчне рiвняння (30.12) називається характеристичним рiвнянням рiвняння (30.10), а многочлен

Pn(λ) = λn + a1λn−1 + · · · + an−1λ + an

476

його характеристичним многочленом.

Якщо λ0 — корiнь рiвняння (30.12), то очевидно, що

y= eλ0x

єрозв’язок рiвняння (30.10), де eλ0x — комплексно-значна функцiя, якщо λ0 є комплексне число.

Теорема 30.4. Якщо λ0 — корiнь характеристичного рiвняння (30.12) кратностi m (1 < m 6 n), то кожна функцiя

виду

xreλ0x,

де r = 1, 2, . . . , m − 1, є розв’язком рiвняння (30.10).

Доведення. Вiзьмемо функцiю

xreλx

i, скориставшись формулою Лейбнiца, обчислимо її похiдну k-го порядку.

Пiдставимо цю функцiю та її похiднi до n-го порядку включно у лiву частину рiвняння (30.10). Маємо:

477

(Тут враховано, що (xr)(k) = 0 для k > r). Якщо в останнiй вираз покласти λ = λ0 i врахувати, що Pn(λ0) = Pn0 (λ0) = · · · =

Pn(r)(λ0) = 0, то

(xreλ0x)(n) + a1(xreλ0x)(n−1) + · · · + an−1(xreλ0x)0 + anxreλ0x ≡ 0,

тобто функцiя xreλ0x є розв’язком рiвняння (30.10).

Теорема 30.5. Якщо λ1, λ2, . . . , λl — коренi характеристичного рiвняння (30.12) вiдповiдно кратностi m1, m2, . . . , ml (m1 + m2 + · · · + ml = n), то система функцiй

eλkx, xeλkx, . . . , xmk−1eλkx,

де k = 1, 2, . . . , l, є фундаментальною системою розв’язкiв рiвняння (30.10).

Доведення. Припустимо, що це не так, тобто припустимо, що задана система функцiй є лiнiйно залежною. Тодi iснує набiр

478

чисел αkj (k = 1, l, j = 1, mk − 1), серед яких є хоч одне число, вiдмiнне вiд нуля, такий, що для всiх x R

l mk−1

X X

αkjxjeλkx ≡ 0

k=1 j=0

або

k=1

де Ak(x) — многочлен степеня не вище mk − 1. Припустимо, що A1(x) 6≡0, тобто

A1(x) = α10 + α11x + · · · + α1sxs,

де α1s 6= 0. Помножимо обидвi частини тотожностi (30.13) на e−λlx. Одержимо

A1(x)e(λ1−λl)x + A2(x)e(λ2−λl)x + · · ·+ Al−1(x)e(λl−1−λl)x + Al(x) ≡ 0.

(30.14) Нехай Al(x) є многочлен степеня p1 (p1 6 ml − 1). Продиференцюємо тотожнiсть (30.14) p1 + 1 раз. Тодi, врахувавши, що при

будь-якому k

dk (A(x)eαx) = B(x)eαx, dxk

де B(x) є многочлен того ж степеня, що й многочлен A(x), причому його старший коефiцiєнт дорiвнює a0αk, де a0 — старший коефiцiєнт многочлена A(x), маємо

B1(x)e(λ1−λl)x + B2(x)e(λ2−λl)x + · · · + Bl−1(x)e(λl−1−λl)x ≡ 0

або

479

причому старший коефiцiєнт многочлена B1(x) дорiвнює α1s(λ1 − λl)p+1. З тотожнiстю (30.15) проробимо те саме, що й з тотожнiстю (30.13). Одержимо тотожнiсть

C1(x)eλ1x + C2(x)eλ2x + · · · + Cl−2(x)eλl−2x ≡ 0,

причому старший коефiцiєнт многочлена C1(x) дорiвнює α1s(λ1−λl)p1+1(λ1−λl−1)p2+1, де p2 — степiнь многочлена Bl−1(x).

Продовжимо цю процедуру. Як результат одержимо тото-

причому старший коефiцiєнт многочлена S1(x) дорiвнює

α1s(λ1 − λl)p1+1(λ1 − λl−1)p2+1 · · · (λ1 − λ2)pl−1+1.

Оскiльки λ1−λl 6= 0, . . . , λ1−λ2 6= 0, то в силу (30.16) α1s = 0, що суперечить припущенню. Таким чином, наше припущення невiрне, а отже, задана система розв’язкiв є лiнiйно незалежною, тобто є фундаментальною системою розв’язкiв рiвняння (30.10).

Висновок. Згiдно теореми 30.5 задача iнтегрування лiнiйного однорiдного рiвняння iз сталими коефiцiєнтами (30.10)

y(n) + a1y(n−1) + · · · + an−1y0 + any = 0

зводиться до розв’язування характеристичного рiвняння (30.12)

λn + a1λn−1 + · · · + an−1λ + an = 0,

i коли коренi останнього рiвняння знайденi, то загальний розв’я- зок рiвняння (30.10) записується у виглядi

lmk−1

480