Matanaliz

Отже, у цьому випадку заданий ряд збiгається i його сумою є

a

число 1 − q , тобто

∞

Xaqn−1 = 1 −a q .

n=1

Якщо ж |q| > 1, то послiдовнiсть (qn) розбiжна, а, отже, буде розбiжною послiдовнiсть (Sn), тобто у цьому випадку заданий ряд розбiгається.

Розв’язання. Нехай (Sn) послiдовнiсть часткових сум заданого ряду, а (S2n ) її пiдпослiдовнiсть. Оскiльки для кожного n

тобто пiдпослiдовнiсть S2n необмежена, а отже, розбiжна. Звiдси випливає, що послiдовнiсть Sn розбiжна. А це й означає, що гармонiйний ряд розбiжний.

Зауваження. Якщо вважати, що lim Sn = +∞, то кажуть,

n→∞

що гармонiйний ряд має нескiнченну суму.

411

Можна довести, що

∞

P

а) якщо ряд zn збiгається, то збiгається будь-який його

n=1

залишок, причому

(звiдси маємо, що lim zn = 0 є необхiдною умовою збiжностi

n→∞

ряду);

∞

б) якщо ряд P αzn(1), де α C, назвати добутком ряду

∞∞

XX

∞

P

Якщо кожен член ряду zn записати в алгебраїчнiй формi,

n=1

породжує два ряди з дiйсними членами

∞∞

XX

412

Доведення. Необхiднiсть. Нехай ряд (27.2) збiгається i йо-

го сума дорiвнює A+iB. Це означає, що lim Sn = A+iB, тобто

n→∞

для будь-якого ε > 0 iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть |Sn − (A + iB)| < ε. Для таких n

n

X

|ak − A| =

k=1

413

i тiльки тодi, коли для будь-якого ε > 0 iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 i будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть

|Sn − Sn+p| = |zn+1 + zn+2 + · · · + zn+p| < ε.

Ряд (27.2) крiм рядiв (27.3) породжує, що ряд

n=1

збiжнiсть якого (у чому легко переконатись) гарантує збiжнiсть ряду (27.2). У зв’язку з цим стає зрозумiлою необхiднiсть iнструментарiю для дослiдження рядiв, всi члени яких є невiд’ємними.

Нехай у рядi

∞

X

n=1

всi члени невiд’ємнi. Тодi послiдовнiсть (Sn) його часткових сум буде неспадною, i для її збiжностi необхiдно i досить, щоб вона була обмежена зверху. Отже, ряд (27.5) збiгається, якщо послiдовнiсть його часткових сум обмежена.

Питання збiжностi ряду (27.5) часто вдається вияснити, порiвнюючи його з певним еталонним рядом, тобто рядом, збiжнiсть чи розбiжнiсть якого встановлена.

Теорема 27.3 (теорема порiвняння рядiв). Якщо для ря-

XX

з невiд’ємними членами iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть an 6 bn, то iз збiжностi ряду

415

(II) випливає збiжнiсть ряду (I), а з розбiжностi ряду (I) випливає розбiжнiсть ряду (II).

Доведення. Не втрачаючи загальностi, будемо вважати, що для рядiв (I) i (II) нерiвнiсть an 6 bn виконується для всiх n. (Досить згадати, що ряд збiгається або розбiгається одночасно iз будь-яким своїм залишком.) Тодi очевидно, що для всiх n

nn

Якщо ряд (II) збiгається, то послiдовнiсть (Sn(2)) його часткових сум обмежена зверху, тобто iснує M > 0, що для всiх n

Sn(2) 6 M. Врахувавши нерiвнiсть (27.6), маємо, що для всiх n Sn(1) 6 M. А це й означає, що ряд (I) збiгається. Якщо ж ряд (I)

розбiгається, то послiдовнiсть (Sn(1)) необмежена зверху, тобто для будь-якого M > 0 iснує n0 таке, що Sn(1)0 > M. Врахував-

ши нерiвнiсть (27.6), маємо що i Sn(2)0 > M. А це означає, що послiдовнiсть (Sn(2)0 ) необмежена, тобто що ряд (II) розбiжний.

Зручним для практичного використання є наслiдок з теореми 27.3.

Наслiдок. Якщо у рядi (II) для всiх n bn > 0 i

lim an = k,

n→∞ bn

то iз збiжностi ряду (II) i того, що 0 6 k < +∞, випливає збiжнiсть ряду (I), а з розбiжностi ряду (I) i того, що 0 < k 6 +∞, випливає розбiжнiсть ряду (II).

Скориставшись теоремою порiвняння рядiв i еталонними ря-

дами можна розв’язати питання збiжностi досить широкого кла-

∞

P

су рядiв. Нехай маємо ряд an з додатними членами, i нехай

n=1

416

iснує число q (0 < q < 1) i номер n0 такi, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть

an+1 6 q. an

Тодi для всiх n > n0 маємо:

an0+1 6 qan0 ,

an0+2 6 qan0+1 6 q2an0 ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

an0+k 6 qan0+k−1 6 · · · 6 qkan0 ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

k=n0+1

∞

дного члена ряду P a0qn. Останнiй ряд збiгається як геометри-

n=1

чна прогресiя iз знаменником q (0 < q < 1). Звiдси випливає, що збiжним буде i заданий ряд.

Якщо ж iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть

an+1 > 1, an

то для заданого ряду не виконується необхiдна умова збiжностi i вiн розбiгається. Фактично тут обгрунтована ознака Д’А- ламбера збiжностi ряду з додатними членами, яку на практицi використовують у такiй формi.

ряд потребує додаткового дослiдження.

Порiвняння рядiв з невiд’ємними членами з геометричною прогресiєю дозволяє сформулювати ще одну ознаку збiжностi.

417

n→∞

якщо l < 1, i розбiгається, якщо l > 1. Якщо ж l = 1, ряд потребує додаткового дослiдження.

Популярною є ще одна ознака збiжностi ряду з додатними членами, яка грунтується на порiвняннi ряду з невласним iнтегралом вiд додатної функцiї.

iнтегральна ознака збiжностi. Якщо функцiя f, визначена

Приклад 3. Дослiдити на збiжнiсть ряд

∞ n! an

X

nn

,

n=1

де a > 0.

Розв’язання. Оскiльки

то за ознакою Д’Аламбера (у граничнiй формi) при 0 < a < e ряд збiгається, а при a > e ряд розбiгається. При a = e ряд потребує

418

додаткового дослiдження, яке можна провести, скориставшись формулою Стiрлiнга. А саме врахувавши, що при n → ∞ (n!) (nne−n√2πn), маємо, що при a = e

тобто не виконується необхiдна умова збiжностi.

Приклад 4. Дослiдити на збiжнiсть ряд

∞

X 1 nα ,

n=1

де α R.

Розв’язання. Оскiльки

то при α 6 0 необхiдна умова збiжностi не виконується i ряд розбiгається. Якщо ж α > 0, то

тобто застосування ознак Д’Аламбера i Кошi не дає результату.

1

Якщо ж у n-ому членi nα замiсть n покласти x, то очевидно,

1

що функцiя f(x) = xα визначена, додатна i спадна на промiжку

[1; +∞). Тому за iнтегральною ознакою заданий ряд збiгається

419

одночасно з невласним iнтегралом

маємо, що цей iнтеграл розбiгається при 0 < α 6 1 i збiгається при α > 1. А отже, заданий ряд збiгається при α > 1 i розбiгається при α 6 1.

З класу рядiв з дiйсними, але довiльними членами видiлимо клас знакозмiнних рядiв, тобто рядiв виду

∞

X

a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n−1an + · · · = (−1)n−1an,

n=1

де an > 0 для всiх n.

Теорема 27.4 (ознака Лейбнiца). Якщо у рядi

n=1

lim an = 0 i для всiх n an > an+1 > 0, то такий ряд збiгає-

n→∞

ться.

420