Matanaliz

Означення 25.2. Непорожню множину X iз заданою у нiй метрикою d називають метричним простором i позначають (X, d). Елементи множини X називають точками метричного простору, а число d(x, y) називають вiдстанню мiж точками x i y.

Надiлити множину X метрикою означає задати функцiю d : X × X → R з властивостями (аксiомами) 1) – 3).

Приклад 1. Дано функцiю f, визначену i строго монотонну на множинi R. Довести, що функцiя d(x, y) := |f(x)−f(y)| задає метрику на множинi R.

Розв’язання. Насамперед очевидно, що для будь-яких дiйсних чисел x i y d(x, y) > 0, причому d(x, y) = 0 x = y. Остання рiвнiсть в силу строгої монотонностi функцiї f має мiсце тодi i тiльки тодi, коли x = y. Далi для будь-яких x, y R d(x, y) = |f(x) − f(y)| = |f(y) − f(x)| = d(x, y). i, нарештi, для будь-яких x, y, z R d(x, y) = |f(x) − f(y)| = |f(x) − f(z) + f(z) − f(y)| 6 |f(x) − f(z)| + |f(z) − f(y)| = d(x, z) + d(z, y). Таким чином, функцiя d задовольняє всi три аксiоми вiдстанi, тобто надiляє множину вiдстанню.

Зауваження. Як наслiдок при f(x) = x маємо евклiдову вiдстань на прямiй d1(x, y) = |x − y|, а, наприклад, при f(x) = arctg x — вiдстань на прямiй визначається за формулою

d2(x, y) = | arctg x − arctg y|,

i характерна тим, що вона менша, нiж π.

Хоча множину R можна надiлити метрикою по-рiзному, але першiсть за евклiдовою. Якраз метричний простiр (R, d), де d

— евклiдова метрика, є основою теорiї числових функцiй однiєї дiйсної змiнної.

Множину Rn можна надiлити метрикою також по-рiзному,

371

але найбiльш популярними є такi:

v u n

X

u d1(x, y) = t

d3(x, y) = max |xk − yk|,

k=1,n

де x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) довiльнi елементи з Rn. Приведенi метрики виявляються рiвноцiнними у тому планi, що класи збiжних послiдовностей елементiв з Rn вiдносно кожної з цих метрик збiгаються. Однак з точки зору їх придатностi для обчислень мiж ними є iстотна рiзниця.

Нехай C[a;b] — множина всiх неперервних на вiдрiзку [a; b] функцiй. Можна перевiрити, що функцiї

t

де f, g — довiльнi елементи з C[a;b], є метриками, якими можна надiлити множину C[a;b]. Перша з них називається рiвномiрною (збiжнiсть послiдовностi функцiй вiдносно цiєї метрики еквiвалентна рiвномiрнiй збiжностi), друга — евклiдова (збiжнi послiдовностi функцiй вiдносно цiєї метрики називають збiжними у середньому квадратичному).

Центральним топологiчним поняттям метричного простору є поняття вiдкритої кулi, аналогом якої є iнтервал на прямiй, вiдкритий круг на площинi, вiдкрита куля у просторi. Нехай

372

маємо метричний простiр (X, d), i нехай x0 X, а r — довiльне додатне число.

Означення 25.3. Вiдкритою кулею або просто кулею з центром у точцi x0 радiуса r називають множину всiх точок метричного простору X, вiдстань яких до точки x0 менша, нiж r, i позначають B(x0, r), тобто

B(x0, r) := {x | x X, d(x0, x) < r}.

Цiлком природно множину

B(x0, r) := {x | x X, d(x0, x) 6 r}

назвати замкненою кулею з центром у точцi x0 радiуса r, а множину

S(x0, r) := {x | x X, d(x0, x) = r}

— сферою з центром у точцi x0 радiуса r.

Означення 25.4. Точка a метричного простору (X, d) називається границею послiдовностi (xn), якщо для будь-якого ε > 0 iснує n0 таке, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть d(xn, a) < ε.

Про послiдовнiсть, яка має границю, кажуть, що вона збiгається (є збiжною), а за границею залишають стандартне позначення.

Приклад 2. Довести, що послiдовнiсть

точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою збiгається до точки (1;2).

373

точок метричного простору C[0;1] з рiвномiрною метрикою збiгається до точки f0(x) = x.

то очевидно, що d(fn(x), f0(x)) < ε, як тiльки n > n0, де n0 =

1

ε

+ 1.

Теорема 25.1. Якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) має границю, то вона єдина.

374

Доведення. Припустимо, що iснує метричний простiр (X, d) i послiдовнiсть (xn) точок цього простору, яка має бiльше однiєї

Одержане протирiччя (d(a, b) < 23 d(a, b)) свiдчить про те, що припущення про iснування збiжних послiдовностей з бiльше, нiж однiєю границею невiрне. А отже, якщо послiдовнiсть має границю, то вона єдина.

Теорема 25.2 (необхiдна умова збiжностi). Якщо послiдовнiсть точок метричного простору збiжна, то вона обмежена.

Доведення. Нехай послiдовнiсть (xn) точок метричного про-

стору (X, d) є збiжною i lim xn = a. Покажемо, що iснує ку-

n→∞

ля B(a, r) така, що для всiх n xn B(a, r). Справдi, оскiль-

ки lim xn = a, то для будь-якого ε > 0, зокрема для ε = 1,

n→∞

iснує n0 такий, що для всiх n > n0 d(xn, a) < 1. Тодi або для всiх членiв послiдовностi (xn) d(xn, a) < 1, або є члени цiєї послiдовностi такi, що d(xn, a) > 1. У першому випадку для всiх n xn B(a, 1), у другому для всiх n xn B(a, r), де r = 1 + max{1, d(x1, a), d(x2, a) . . . , d(xn0 , a)}.

375

Щодо достатних умов, то i для метричних просторiв вводиться поняття фундаментальної послiдовностi (послiдовнiсть (xn) фундаментальна, якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 i будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть d(xn, xn+p) < ε). Однак критерiй Кошi має мiсце не для всiх метричних просторiв. Тi з них, для яких кожна фундаментальна послiдовнiсть є збiжною, називають повними метричними просторами.

З’ясуємо характер збiжностi послiдовностей точок деяких метричних просторiв. Нехай маємо метричний простiр (Rn, d), де d — евклiдова метрика. Якщо послiдовнiсть (xk) точок простору Rn записати у виглядi

(xk) = ((xk1, xk2, . . . , xkn)),

то поряд з нею можна розглядати n числових послiдовностей (xk1), (xk2), . . . , (xkn). Бiльше того, має мiсце рiвнiсть

Неважко також переконатись, що кожна фундаментальна послiдовнiсть точок простору Rn є повним (повним вiн буде i вiдносно метрик d2 i d3 з (25.1)).

У просторi C[a;b] з рiвномiрною метрикою послiдовнiсть (fn) збiгається тодi i тiльки тодi, коли вона збiгається до f0 рiвномiрно на вiдрiзку [a; b]. Справдi, якщо послiдовнiсть (fn) збiгається до точки f0 C[a;b], то для будь-якого ε > 0 iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть

d(fn, f0) = max |fn(x) − f0(x)| < ε.

x [a;b]

Звiдси випливає, що для всiх x [a; b] |fn(x)−f0(x)| < ε. Отже, для будь-якого ε > 0 iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 i всiх x [a; b] виконується нерiвнiсть |fn(x) − f0(x)| < ε. А

376

це й означає, що функцiональна послiдовнiсть (fn) збiгається рiвномiрно до функцiї f0 на вiдрiзку [a; b].

Нехай функцiональна послiдовнiсть (fn) точок з C[a;b] рiвномiрно збiгається до функцiї f0 на вiдрiзку [a; b]. Тодi f0 C[a;b] як границя рiвномiрно збiжної на вiдрiзку [a; b] послiдовностi неперервних функцiй є неперервна функцiя. Крiм того, в силу рiвномiрної збiжностi для будь-якого ε > 0 iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 i всiх x з вiдрiзка [a; b] виконується нерiвнiсть |fn(x) −f0(x)| < ε. Для кожного n функцiя |fn(x) −f0(x)| є неперервною на вiдрiзку [a; b]. А отже, за теоремою Вейерштраса досягає на ньому свого найбiльшого значення, тобто iснує точка x0 [a; b] така, що

|fn(x0) − f0(x0)| = max |fn(x0) − f0(x)|.

x [a;b]

Таким чином, для всiх n > n0

d(fn, f0) = max |fn(x) − f0(x)| = |fn(x0) − f0(x0)| < ε.

x [a;b]

А це й означає, що послiдовнiсть (fn) точок простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою є повним, а от цей простiр вiдносно метрики d2 з (25.2) є неповним.

Нехай маємо метричнi простори (X, dX ), (Y, dY ).

Означення 25.5. Вiдповiднiсть f, яка кожнiй точцi метричного простору X вiдносить одну точку метричного простору Y називається вiдображенням простору X у простiр Y i позначається f : X → Y .

Зауважимо, що термiн „вiдображення“ синонiм термiну „функцiя“. Термiн „оператор“ i „функцiонал“використовуються тодi, коли X i Y надiленi не тiльки топологiчною, але й алгебраїчною структурою. Зокрема, термiн „оператор“ вживається для

377

вiдображень функцiональних просторiв у функцiональнi, а термiн „функцiонал“ для вiдображень функцiональних просторiв у множину R або C.

Далi будемо розглядати вiдображення з метричного простору X у метричний простiр Y , тобто вiдповiднiсть f, яка кожнiй точцi x X вiдносить не бiльше, нiж один елемент з простору Y , i записувати вiдображення f з X у Y . Нехай E X, на якiй вiдображення f визначено. Образ точки x E при вiдображеннi f будемо позначати у стандартний спосiб f(x).

Означення 25.6. Точка y0 метричного простору Y називається границею вiдображення f у точцi x0 X вiдносно множини E, якщо для будь-якої послiдовностi (xn) точок мно-

жини E такої, що для кожного n xn 6= x0 i lim xn = x0,

n→∞

вiдповiдна їй послiдовнiсть образiв (f(xn)) збiгається до точки y0, i позначається

lim f(x) = y0.

x→x0,x E

Зауважимо, що у точцi x0 вiдображення f може бути невизначеним, разом з тим x0 є граничною точкою вiдносно множини E. Далi, коли мова буде йти про границю вiдображення f, будемо вважати, що f визначено у кожнiй точцi метричного простору X крiм, можливо, точки x0, а його границю у точцi x0

вiдносно множини X \ {x0} будемо позначати lim f(x).

x→x0

Теорема 25.3. Для того щоб lim f(x) = y0 необхiдно i

x→x0

досить, щоб для будь-якого ε > 0 iснувало δ > 0 таке, що для всiх x X, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < dX (x, x0) < δ, виконується нерiвнiсть

dY (f(x), y0) < ε.

378

Доведення. Необхiднiсть. Нехай lim f(x) = y0. Припу-

x→x0

стимо, що iснує ε0 > 0 таке, що для будь-якого δ > 0 iснує

точка xδ X (xδ 6= x0), що хоча dX (xδ, x0) < δ, однак dY (f(x0), y0) > ε0, i нехай δ = 1, 12 , 13 , · · ·. Тодi, в силу припущення, для кожного n iснує точка xn X (xn 6= x0) така, що

dX (x0, xn) < n1 i dY (y0, f(xn)) > ε0. Очевидно, що для так побу-

дованої послiдовностi (xn) при кожному n xn 6= x0 i lim xn = x0.

n→∞

А отже, вiдповiдна послiдовнiсть образiв (f(xn)) має збiгатись,

причому lim f(xn) = y0. Останнє неможливо, оскiльки для ко-

x→∞

жного n dY (f(xn), y0) > ε0. Таким чином, наше припущення

невiрне, i з того що lim f(xn) = y0 випливає, що, справдi, для

x→x

будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх x X, якi задовольняють нерiвнiсть dX (x, x0) < δ, виконується нерiвнiсть

dY (f(x), y0) < ε.

Достатнiсть. Нехай y0 задовольняє умову теореми, тобто для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх x X, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < dX (x, x0) < δ, виконується нерiвнiсть dY (f(x), y0) < ε. Нехай послiдовнiсть (xn) точок простору

X така, що для кожного n xn 6= x0 i lim xn = x0. Якщо ε до-

n→∞

вiльне, але фiксоване, i для нього обрано δ > 0, то для такого δ iснує номер n0 такий, що для будь-якого n > n0 dX (xn, x0) < δ. А отже, в силу умови для будь-якого n > n0 dY (f(x), y0) < ε. А

це й означає, що lim f(xn) = y0.

x→∞

Зрозумiло, що доведена теорема дає ще одне означення границi вiдображення (перше називають означенням границi вiдображення за Гейне, друге — за Кошi). Якщо iснує

lim f(x) = y0, то вона єдина. А також iснує куля B(x0, r) i куля

x→x0

B(y0, R) такi, що для всiх x B(x0, r) i x 6= x0 f(x) B(y0, R), тобто вiдображення f, яке має границю у точцi x0, обмежене у деякому околi цiєї точки.

379

Приклад 4. Нехай вiдображення A з метричного простору C[0;1] з рiвномiрною метрикою у метричний простiр R задається у такий спосiб:

1

Z

Af = f(x)dx.

0

Довести, що iснує границя цього вiдображення у точцi f0(x) = x2 + 1 вiдносно множини E = {ax2 + b | a, b R}.

1

Z

Розв’язання. Оскiльки (x2 + 1)dx = 43, то природно є гi-

0

потеза, що

lim Af = 4.

f→f0,f E 3

Для будь-якого f E

=a − 1 + b − 1 6 max (a − 1)x2 + b − 1 =

3 x [0;1]

= max |ax2 + b − (x2 + 1)| = dC(f, f0).

x [0;1]

Отже, якщо для довiльного ε > 0 взяти δ = ε, то з того, що dC(f, f0) < δ, випливає, що dR(Af, 43 ) < ε. А це й означає, що

lim Af = 4.

f→f0,f E 3

Означення 25.7. Вiдображення f з метричного простору X у метричний простiр Y називається неперервним у точцi

x0 X вiдносно множини E, якщо lim f(x) = f(x0).

x→x0,x E

380