Вэриан

В настоящей главе мы рассмотрим еще ряд подходов к задаче выведения оценочной функции полезности на основе наблюдений за поведением в отношении спроса. Хотя некоторые из тех методов, которые мы изучим, носят менее общий характер, чем два метода, изученных нами раньше, они окажутся полезными при ряде применений, которые будут нами рассмотрены в этой книге далее.

Мы начнем с того, что вспомним особый случай поведения в отношении спроса, воссоздать оценочный вид функции полезности для которого очень легко. Затем мы рассмотрим более общие случаи предпочтений и поведения в отношении спроса.

14.1 Спрос на дискретный товар

Начнем с того, что вспомним, как выглядит функция спроса на дискретный товар при квазилинейной функции полезности, описанная нами в главе6. Предположим, что функция полезности принимает видv(x)+y и что товарx можно приобретать только в неделимых количествах. Представим себе, что товар y — это деньги, расходуемые на все другие товары, и приравняем его цену к 1. Обозначим цену товара x через p.

Как мы видели в гл.6, в этом случае поведение потребителя может быть

Взаимосвязь резервных цен и спроса очень проста: если предъявляется спрос

на n единиц дискретного товара, то rn ³ p ³ rn+1 .

Чтобы проверить это, рассмотрим пример. Допустим, что потребитель решает потребить 6 единиц товара x при цене, равной p. Тогда полезность потребления набора (6, m-6p) должна быть, по крайней мере, не меньше, чем полезность потребления любого другого набора (x, m-px):

В частности, данное неравенство должно соблюдаться дляx=5, что даст нам

v( 6) + m -6p ³ v( 5) = m - 5p .

Произведя преобразования, получаем v( 6) - v( 5) = r6 ³ p.

Неравенство (14.1) должно соблюдаться и для x=7. Это дает нам неравенст-

во

v(6) + m - 6 p ³ v(7) + m - 7 p ,

которое можно преобразовать к виду

p ³ v(7) - v(6) = r7 .

Как показывают эти рассуждения, если спрос на товарx равен 6 единицам,

цена товара x должна находиться между r6 и r7 . Вообще, если предъявляется

спрос на n единиц товара x по цене p, то rn ³ p ³ rn+1 , что мы и стремились показать. Перечень резервных цен содержит всю необходимую для описания поведения в отношении спроса информацию. График резервных цен, как показано на рис.14.1, образует "лестницу". Эта лестница есть не что иное как кривая спроса на дискретный товар.

14.2 Построение функции полезности на основе функции спроса

Мы только что видели, как построить кривую спроса, если заданы резервные цены или функция полезности. Однако, мы можем проделать и обратную операцию. Если дана кривая спроса, то можно построить функцию полезности

— по крайней мере, для особого случая квазилинейной полезности.

Для одного объема спроса, это — просто тривиальная арифметическая операция. Резервные цены определяются как разность полезности:

r1 = v(1) - v(0)

r 2 = v(2) - v(1)

r3 = v(3) - v(2)

.

.

.

Если мы хотим, например, подсчитать v(3), мы просто складываем обе части этого перечня уравнений и находим

r1+ r2 + r3 = v( 3) - v( 0) .

Удобно приравнять к нулю полезность, получаемую от потребления нуля единиц товара, так что v(0)=0 и поэтому v(n) есть просто суммаn первых резервных цен.

Это построение имеет красивую геометрическую интерпретацию, которая показана на рис.14.1A. Полезность от потребления n единиц дискретного товара есть не что иное, как площадь n первых столбцов, образующих функцию спроса. Это верно, потому что высота каждого столбца есть резервная цена, связываемая с данным объемом спроса, а ширина каждого столбца есть1. Эту площадь иногда называют

валовой выгодой, или валовым излишком потребителя, связанным с потреблением данного товара.

Обратите внимание на то, что это — лишь полезность, связанная с потреблением товара 1. Конечная полезность потребления зависит от того, какое количество товара 1 и товара 2 потребляет потребитель. Если потребитель решает потребить n единиц дискретного товара, то на покупку других вещей у него остается m-pn долларов. Это дает ему общую полезность в размере

v(n)+m-pn.

Эта полезность также может быть представлена площадью: надо просто взять площадь, изображенную на рис.14.1A, вычесть из нее расходы на дискретный товар и прибавить m.

Член v(n)-pn называют излишком потребителя, или чистым излишком потребителя. Он измеряет чистую выгоду от потребления n единиц дискретного товара: полезность v(n) минус сокращение расходов на потребление другого товара. Излишек потребителя изображен на рис.14.1B.

Рис.14.1 Резервные цены и излишек потребителя. Валовая выгода на рис.14.1A есть площадь под кривой спроса. Она измеряет полезность от потребления товара x. Излишек потребителя изображен на рис.B. Он измеряет полезность от потребления обоих товаров в случае, когда первый товар покупается по неизменной цене p.

14.3 Другие интерпретации излишка потребителя

Существуют и другие подходы к интерпретации излишка потребителя. Предположим, что цена дискретного товара равнаp. Тогда потребитель

оценивает потребление первой единицы этого товара в r1 , но должен заплатить за нее только p. Это дает ему "излишек" в размере r1 - p на первую единицу потребления. Вторую единицу потребления он оценивает в r 2 , но снова должен заплатить за нее толькоp. Это дает ему излишек в размереr 2 - p на данную

единицу потребления. Если сложить подобные излишки по всемn единицам, на которые потребитель предъявляет спрос, мы получим его общий излишек потребителя:

CS = r 1 - p + r 2 - p + ...+ r n - p = r1 + ...+r n - np .

Поскольку сумма резервных цен дает нам не что иное как полезностьпо требления товара 1, это выражение можно переписать также в виде

CS=v(n)-pn

Излишек потребителя можно интерпретировать и по-другому. Предположим, что потребитель потребляет n единиц дискретного товара и платит за этоpn долларов. Сколько денег потребовалось бы ему, чтобы вообще отказаться от потребления этого товара? Пусть требуемая для этого сумма естьR. Тогда R должна удовлетворять уравнению

v(0)+m+R=v(n)+m-pn.

Поскольку v(0)=0 по определению, это уравнение сводится к

R=v(n)-pn,

а это как раз и есть излишек потребителя. Следовательно, излишек потребителя показывает сумму, которую надо было бы заплатить потребителю, чтобы заставить его полностью отказаться от потребления какого-либо товара.

14.4 От излишка потребителя к излишку потребителей

До сих пор мы рассматривали случай единственного потребителя. Если речь идет о нескольких потребителях, мы можем сложить излишки потребителя для всех потребителей, получив такую совокупную меру, как излишек потребителей. Обратите внимание на различие этих двух понятий: понятие "излишек потребителя" относится к излишку для одного потребителя; понятие "излишек потребителей" относится к сумме излишков для ряда потребителей.

Излишек потребителей служит удобной мерой совокупных выгод от обмена, подобно тому, как излишек потребителя служит мерой выгод от обмена для отдельного индивида.

14.5Как мы видели, площадь под кривой спроса на дискретный товар измеряет полезность потребления этого товара. Эту идею можно распро-

странить на случай товара, приобретаемого в непрерывных количествах, если считать непрерывную кривую спроса приближением "лестничной" кривой спроса. Площадь под непрерывной кривой спроса оказывается в этом случае примерно равной площади под "лестничной" кривой спроса.

Пример этого можно увидеть на рис.14.1. В Приложении к настоящей главе мы показываем, как использовать дифференциальное исчисление для точного подсчета площади под кривой спроса.

14.6Квазилинейная функция полезности

Стоит поразмышлять о той роли, которую играет в данном анализе квазилинейная функция полезности. Вообще, цена, по которой потребитель готов купить некоторое количество товара 1, зависит от того, сколько денег у него имеется на потребление других товаров. Это означает, что, в общем случае, резервные цены на товар 1 будут зависеть от потребляемого количества товара 2.

Рис.14.2 Приближение к непрерывной функции спроса. Излишек потре-

бителя, связываемый с непрерывной функцией спроса, можно считать приблизительно равным излишку потребителя, связываемому с кривой спроса на дискретный товар.

Однако, в особом случае квазилинейной функции полезности резервные цены не зависят от суммы денег, которую потребитель должен израсходовать на другие товары. Экономисты говорят, что в случае квазилинейной функции полезности "отсутствует эффект дохода", так как изменения потребления не оказывают воздействия на спрос. Именно это и позволяет нам подсчитывать полезность столь простым способом. Измерение полезности площадью под кривой спроса является в точности правильным только тогда, когда фунция полезности квазилинейна.

Однако, часто подобный способ дает хорошие приближенные результаты. Если спрос на товар с изменением дохода меняется не сильно, т эффекты дохода не имеют серьезного значения и изменение излишка потребителя может служить разумным приближенным измерением изменения полезности для данного потребителя. 1

14.7 Интерпретация изменения излишка потребителя

1Конечно,изменение излишка потребителя— это лишь один из способов, которыми можно представить изменение полезности, — изменение величины, равной квадратному корню из излишка потребителя, могло бы столь же успешно служить способом указанного измерения. Однако, использование излишка потребителя в качестве стандартной меры полезности является общепринятой нормой.

Абсолютная величина излишка потребителя, как правило, не слишком нас волнует.Обычно нас в большей степени интересует изменение излишка потребителя, являющееся результатом каких-то изменений экономической политики. Допустим, например, что цена товара изменяется p'с до p''. Как изменится при этом излишек потребителя?

На рис.14.3 мы проиллюстрировали изменение излишка потребителя, связанное с изменением цены. Изменение излишка потребителя есть разность двух площадей примерно треугольной формы и потому должно иметь примерную форму трапеции. Эта трапеция, в свою очередь, состоит из двух частей— прямоугольника, обозначенного

буквой R, и фигуры, похожей на треугольник и обозначенной буквой T.

Рис.14.3 Изменение излишка потребителя. Изменение излишка потреби-

теля представлено разностью двух площадей примерно треугольной формы и поэтому должно иметь примерную форму трапеции.

Площадь прямоугольника измеряет потерю излишка потребителя, вызванную тем фактом, что теперь потребитель платит больше за все единицы товара, которые он продолжает потреблять. После повышения цены потребитель продолжает потреблять x¢¢ единиц товара, и каждая из этих единиц стала теперь дороже на x¢¢ - x¢ . Это означает, что просто для того, чтобы по-прежнему потреблять x¢¢ единиц товара, он должен израсходовать теперь денег на (p¢¢ - p¢)x¢ больше, чем раньше.

Однако, потеря благосостояния к этому не сводится. Вследствие повышения цены товара x, потребитель решил потреблять его меньше, чем раньше. Площадь треугольника T измеряет стоимость потерянного потребления товара x. Общая потеря для потребителя представлена суммой этих двух эффектов: R измеряет потерю, вызванную необходимостью платить за те единицы товара, которые он продолжает потреблять, а T измеряет потерю, вызванную сокращением потребления.

ПРИМЕР: Изменение излишка потребителя

Вопрос: Дана линейная кривая спроса D(p)=20-2p. Каково изменение излишка потребителя при изменении цены от 2 до 3?

Ответ: Когда p=2, D(2)=16, а когда p=3, D(3)=14. Таким образом, мы хотим подсчитать площадь трапеции с высотой1 и основаниями 14 и 16. Она эквивалентна сумме площади прямоугольника с высотой1 и основанием 14 (равной 14) и площади треугольника с высотой1 и основанием 2 (равной 1). Общая площадь составит поэтому 15.

14.8 Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода

Теория излишка потребителя выглядит очень привлекательной в случае квазилинейной функции полезности. Даже если функция полезности не квазилинейна, излишек потребителя может по-прежнему служить разумной мерой благосостояния потребителя в целом ряде применений. Ошибки в измерении кривых спроса обычно перевешивают ошибки, связанные с приближенными подсчетами, сопутствующими использованию излишка потребителя в качестве меры благосостояния.

Может оказаться, однако, что для некоторых применений такой приближенный подсчет недостаточен. В настоящем параграфе мы в общих чертах охарактеризуем способ измерения"изменений полезности", при котором излишек потребителя не используется. На самом деле, речь пойдет о двух самостоятельных вопросах. Первый вопрос касается того, как вывести оценочную функцию полезности, если из наблюдений известен ряд вариантов потребительского выбора. Второй вопрос касается того, как можно измерить полезность в денежных единицах.

Проблема оценки вида функции полезности нами уже рассматривалась. В гл.5 мы привели пример того, как вывести оценочную функцию полезности Кобба-Дугласа. Как мы заметили в этом примере, в случае функции спроса

поведению потребителя в отношении спроса не была присуща эта конкретная черта, нам бы пришлось выбрать более сложную функцию полезности, принцип оставался бы тем же самым: если у нас имеется достаточно наблюде-

ний за поведением в отношении спроса и это поведение согласуется с максимизацией чего-либо, то, как правило, мы можем вывести оценочную функцию, которая максимизируется.

Как только мы получаем оценочную функцию полезности, описывающую какое-то наблюдаемое поведение в отношении потребительского выбора, мы можем использовать ее для оценки влияния предлагаемых изменений в области цен и объемов потребления. Это — лучшее, на что мы можем рассчитывать на самом фундаментальном уровне анализа. Значение имеют лишь предпочтения потребителя; одна функция полезности, описывающая данные предпочтения потребителя, не хуже другой.

Однако, в некоторых применениях удобным оказывается использование определенных денежных меры полезности. Например, мы могли бы поставить вопрос следующим образом: сколько денег надо дать потребителю, чтобы компенсировать ему изменение структуры его потребления. Мерой этого типа измеряется, по существу, изменение полезности, но делается это в денежных единицах. Какими удобными способами можно это сделать?

Предположим, что мы рассматриваем ситуацию, изображенную на рис.14.4. Здесь потребителю первоначально заданы какие-то цены( p*1,1 ), и он потребля-

ет некий набор ( x*1, x*2 ). Затем цена товара 1 возрастает с p*1 до pˆ 1 , и потреби-

тель переходит к потреблению набора( xˆ1, xˆ 2 ). Насколько большой ущерб благосостоянию потребителя наносит это изменение цены?

A B

Рис.14.4 Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода. На рис.A

показана компенсирующая вариация дохода(CV), а на рис.B — эквивалентная вариация дохода (EV).

Один из способов ответа на данный вопрос состоит в том, чтобы спросить, сколько денег следует дать потребителюпосле изменения цены, чтобы его благосостояние осталось точно таким же, каким оно было до изменения цены. Применительно к графической иллюстрации, мы спрашиваем, как сильно вверх мы должны сдвинуть новую бюджетную линию, чтобы она стала касательной к кривой безразличия, проходящей через точку исходного потребления( x*1, x*2 ).

Изменение дохода, необходимое для того, чтобы потребитель вновь оказался на исходной кривой безразличия, называется компенсирующей вариацией дохода, так как оно представляет собой такое изменение дохода, которое как раз компенсирует потребителю влияние изменения цены. Компенсирующая вариация дохода показыет, сколько денег правительство должно было бы

изменение избытка потребителя дают одну и ту же меру денежной стоимости изменения цены.

ПРИМЕР: Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода

1 1

u( x1, x2 ) = x12 x22 . Первоначально ему заданы цены(1,1), и доход его равен100.

Затем цена товара 1 возрастает до 2. Каковы компенсирующая и эквивалентная вариации дохода?

Нам известно, что функции спроса для данной функции полезности КоббаДугласа заданы формулами

Воспользовавшись этими формулами, мы увидим, что спрос потребителя

Рис. 14.5 Излишек производителя. Чистый излишек производителя есть площадь треугольника слева от кривой предложения на рис. А, а изменение излишка производителя есть площадь трапеции на рис. В.

Чтобы подсчитать компенсирующую вариацию дохода, мы спрашиваем, сколько денег понадобится потребителю, чтобы при ценах (2,1) его благосостояние было точно таким же, как и при потреблении набора(50,50)? Если цены равны (2,1) и потребитель имеет доход m, мы можем подставить эти значения в