Вэриан

Решив это уравнение для m, получаем m = 100 2 » 141 .

Следовательно, потребителю потребовалось бы добавить примерно141 — 100=41$ после изменения цены, чтобы его благосостояние стало точно таким же, как до изменения цены.

Чтобы подсчитать эквивалентную вариацию дохода, мы спрашиваем, сколько денег при ценах (1,1) потребовалось бы, чтобы благосостояние потребителя стало таким же, как если бы он потреблял набор(25,50). Обозначив эту сумму денег буквой m и следуя той же логике, что и ранее, получаем

Решив данное уравнение для m, получаем

m = 50 2 »70 .

Таким образом, если бы потребитель при исходных ценах имел доход в70 долл., его благосостояние было бы точно таким ,жекак при новых ценах и доходе в 100 долл. Эквивалентная вариация дохода составляет, следователь-

но, примерно 100-70=30$.

ПРИМЕР: Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода для случая квазилинейных предпочтений

Предположим, что потребитель имеет квазилинейную функцию полезности v( x1 )+ x 2 . Нам известно, что в этом случае спрос на товар1 зависит только от

цены товара 1, поэтому мы записываем его как x1( p1 ) . Предположим, что цена

полезность v( xˆ1 )+ m - pˆ 1xˆ1 .

Пусть C — компенсирующая вариация дохода. Это — та дополнительная сумма денег, которая потребовалась бы потребителю после изменения цены, чтобы его благосостояние стало таким же, каким оно было до изменения цены. Приравняв эти полезности, мы получаем

v( xˆ1 )+ m + C - pˆ 1xˆ 1 = v( x*1 )+ m - p*1x*1 .

Решив это уравнение для C, получаем

C = v( x*1 ) - v( xˆ1 )+ pˆ 1x1 - p*1x*1 .

Пусть E — эквивалентная вариация дохода. Это — та сумма денег, которую можно было бы отобрать у потребителя до изменения цены, чтобы оставить его с такой же полезностью, которая будет у него после изменения цены. Следовательно, эта величина должна удовлетворять уравнению

v( x*1 )+ m - E - p*1x*1 = v( xˆ1 )+ m - pˆ 1xˆ1 .

Решив это уравнение для E, мы получаем

E = v( x*1 ) - v( xˆ1 )+ pˆ 1xˆ1 - p*1x*1 .

Обратите внимание на то, что в случае квазилинейной функции полезности компенсирующая и эквивалентная вариации дохода одинаковы. Более того, обе они равны изменению излишка потребителя (чистого):

DCS = [v( x*1 ) - p*1x*1 ] - [v( xˆ1 ) - pˆ 1xˆ1 ] .

14.9 Излишек производителя

Кривая спроса показывает величину спроса при каждой цене; кривая предложения показывает величину предложения при каждой цене. Подобно тому, как площадь под кривой спроса измеряет излишек для покупателей товара, площадь над кривой предложения измеряет излишек для поставщиков товара.

Мы назвали площадь под кривой спроса излишком потребителя. По аналогии, площадь над кривой спроса известна излишеккак производителя. Термины "излишек потребителя" и "излишек производителя" в какой-то степени вводят в заблуждение, так как то, кто именно осуществляет потребление и кто именно осуществляет производство, значения, на самом деле, не имеет. Лучше было бы пользоваться терминами"излишек покупателя" и "излишек поставщи-

ка", но мы склонимся перед традицией и будем пользоваться стандартной терминологией.

Предположим, что перед нами — кривая предложения товара. Эта кривая показывает просто количество товара, которое будет поставлено на рынок при каждой возможной цене. Товар может быть поставлен индивидом, который им владеет, или же фирмой, производящей данный товар. Мы примем последнее истолкование, с тем, чтобы не отходить от традиционной терминологии и представить на рис.14.6 кривую предложения производителя. Если производи-

тель может продать на рынке x* единиц своего продукта по цене p* , то каков

его излишек?

Удобнее всего проводить анализ с позицийобратной кривой предложения производителя, ps(x) . Эта функция показывает, какова должна быть цена, чтобы

побудить производителя поставить на рынок x единиц товара.

Рис.14.6 Излишек производителя. Чистый излишек производителя есть площадь треугольника слева от кривой предложения на .рисA, а изменение излишка производителя есть площадь трапеции на рис.B.

Задумайтесь над тем, что представляет собой обратная кривая предложения для дискретного товара. В этом случае производитель готов предложить первую единицу товара за цену ps(1) , но фактически получает за нее рыночную

цену p* . Аналогичным образом, он готов продать вторую единицу товара за цену ps(2) , но получает за нее p* . Продолжая рассуждать подобным образом,

мы видим, что производитель как раз готов будет продать последнюю единицу товара за цену ps( x* ) = p* .

Разность между той минимальной суммой, за которую он был бы готов продать x* единиц товара, и той суммой, за которую он фактически продает это количество единиц товара, и образует чистый излишек производителя. Это — площадь треугольника, представленная на рис.14.6A.

Как и в случае излишка потребителя, мы можем спросить, как изменяется излишек производителя при возрастании цены сp¢ до p¢¢ . Вообще, излишек

производителя есть разность площадей двух треугольников и поэтому, как правило, имеет примерную форму трапеции, изображенную на рис.14.6B. Как и в случае излишка потребителя, эта трапециевидная область будет состоять из прямоугольной области R и примерно треугольной областиT. Площадь прямоугольника измеряет выигрыш от продажи тех единиц товара, которые раньше продавались по p¢ , по более высокой цене p¢¢ . Площадь примерно

треугольной формы измеряет выигрыш от продажи дополнительных единиц товара по цене p¢¢ . Это аналогично изменению излишка потребителя, рассмот-

ренному ранее.

Хотя изменение этого рода принято называть возрастанием излишка производителя, в более глубоком смысле оно представляет собой, на самом деле, возрастание излишка потребителя, достающееся тем потребителям, которые владеют фирмой, породившей данную кривую предложения. Излишек производителя тесно связан с идеей прибыли, но, прежде чем раскрыть эту взаимосвязь, нам придется подождать, пока мы не изучим поведение фирмы более детально.

14.10 Подсчет выигрышей и потерь

Имея оценки кривых рыночного спроса и предложения для данного товара, нетрудно, в принципе, подсчитать потерю излишка потребителей, вызванную

изменению количества товара, которое они захотят потреблять. Можно подсчитать излишек потребителей, связанный с различными предложениями в отношении налогообложения, и увидеть, какого рода налоговые реформы вызывают наименьшую его потерю.

Эта информация часто может быть полезной для вынесения суждений о различных методах налогообложения, но она страдает двумя недостатками. Вопервых, как мы указывали ранее, подсчет излишка потребителя имеет силу только для особых видов предпочтений— а именно, предпочтений, которые можно представить с помощью квазилинейной функции полезности. Как мы утверждали ранее, функция полезности этого рода может быть разумным приближенным описанием предпочтений для тех товаров, для которых изменения дохода ведут к малым изменениям спроса, однако, для товаров, потребление которых тесно связано с доходом, использование излишка потребителей может быть непригодным.

Во-вторых, при подсчете этой потери фактически смешиваются все потребители и продавцы и рождается оценка"издержек" социальной политики для некоего мифического "представительного потребителя". Во многих случаях желательно знать не только то, каковы средние издержки социальной политики для населения, но и то. кто именно несет эти издержки. Политический успех или провал экономической политики того или иного рода часто в большей степени зависит от распределения выигрышей и потерь, нежели от величины среднего выигрыша или потери.

Возможно, излишек потребителя и нетрудно подсчитать, но мы видели, что ненамного труднее подсчитать и истинную компенисирующую или эквивалентную вариацию дохода, связанную с изменением цены. Имея оценки функций спроса для каждого домохозяйства— или, по крайней мере, функций спроса для выборки представительных домохозяйств— мы можем количественно

образом, мы получим меру "выгод" или "издержек" предлагаемых изменений в политике или "издержек", налагаемых ими, для каждого домохозяйства.

Мервин Кинг, экономист Лондонской школы экономики, привел удачный пример данного подхода к исследованию последствий реформы налогообложения жилищных услуг в Великобритании в своей статье"Анализ воздействия налоговых реформ на благосостояние с использованием данных по домохозяйствам", опубликованной в 1983 г. в журнале "Джернл оф паблик экономикс".

Сначала Кинг исследовал расходы на жилищные услуги по5895 домохозяйствам и вывел оценочную функцию спроса, которая точнее всего описывала покупку ими жилищных услуг. Затем он применил эту функцию спроса, чтобы определить функцию полезности для каждого домохозяйства. И наконец, он применил оценочную функцию полезности для посчета того, сколько выиграет или потеряет каждое домохозяйство от определенных изменений в налогообложении жилищных услуг в Великобритании. При этом им использовалась мера, сходная с эквивалентной вариацией дохода, описанной ранее в настоящей главе. Суть изучавшейся им налоговой реформы сводилась к отмене налоговых скидок на проживание владельцев в принадлежащих им домах и к увеличению арендной платы за проживание в муниципальных домах. Выручка, полученная в результате этих изменений, подлежала возврату домохозяйствам в форме безвозмездных социальных выплат, пропорциональных доходу домохозяйства.

Кинг установил, что для 4888 из 5895 домохозяйств такого рода реформа оказалась бы выгодной. Что более важно, он смог точно идентифицировать те домохозяйства, которые понесли бы от данной налоговой реформы существенный урон. Кинг обнаружил, например, что от реформы выигрывало 94 процента домохозяйств с наивысшим доходом и лишь58 процентов домохозяйств с самым низким доходом. Информация этого рода позволяла принять специальные меры, которые могли бы помочь разработать налоговую реформу таким образом, чтобы при этом удовлетворялись поставленные цели распределения социальных выгод от нее.

Краткие выводы

1.В случае дискретного товара и квазилинейной функции полезности полезность, связываемая с потреблением n единиц дискретного товара, есть просто сумма первых n резервных цен.

2.Эта сумма представляет собой валовую выручку от потребления данного товара. Вычтя из нее сумму, затраченную на покупку товара, мы получаем излишек потребителя.

3.Изменение излишка потребителя, связываемое с изменением цены, представлено площадью, по форме близкой к трапеции. Его можно трактовать как изменение полезности, связываемое с изменением цены.

4.В общем случае, для измерения в денежных единицах воздействия изменения цены на полезность можно использовать компенсирующую и эквивалентную вариации дохода.

5. При квазилинейной функции полезности компенсирующая вариация дохода, эквивалентная вариация дохода и изменение излишка потребителя равны между собой. Даже если функция полезности не является квазилинейной, изменение излишка потребителя может служить неплохой приблизительной мерой влияния изменения цены на полезность, получаемую потребителем.

6. При изучении поведения со стороны предложения мы можем определить излишек производителя как меру чистой выгоды для поставщика от производства данного объема продукции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Предположим, что кривая спроса задана функциейD(p)=10-p. Какова валовая выгода от потребления 6 единиц товара?

2.Чему будет равно изменение излишка потребителя, если в приведенном выше примере цена изменится с 4 до 6?

3.Предположим, что потребитель потребляет 10 единиц дискретного товара

ичто цена товара возрастает с5 до 6 долл. за единицу. Однако, после того, как произошло изменение цены, потребитель продолжает потреблять10 единиц дискретного товара. Какова потеря излишка потребителя от данного изменения цены?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обратимся к некоторым примерам использования дифференциального исчисления для строгого подсчета излишка потребителя. Начнем с задачи нахождения максимума квазилинейной функции полезности:

max v(x)+y x,y

при px+y=m.

После подстановки из бюджетного ограничения выражения для y получаем

max v(x)+m-px. x

Условие первого порядка для данной задачи имеет вид v¢(x) = p .

Это означает, что обратная функция спроса p(x) определяется уравнением

Обратите внимание на аналогию с описанным в тексте решением подобной задачи для случая дискретного товара: цена, при которой потребитель как раз готов потребить x единиц товара, равна предельной полезности.

Однако, поскольку обратная функция спроса дает нам величину производной функции полезности, чтобы найти функцию полезности, можно просто проинтегрировать обратную функцию спроса.

Производя интегрирование, мы получаем:

v(x) = v(x) - v(0) = òv¢(t)dt = òp(t)dt .

Следовательно, полезность, связываемая с потреблением товара x, есть не что иное как площадь под кривой спроса.

ПРИМЕР: Несколько функций спроса

Предположим, что функция спроса линейна, так что x(p)=a-bp. Тогда изменение излишка потребителя при движении цены от p до q задано выражением

Другая широко используемая функция спроса, которую мы более детально изучим в следующей главе, имеет вид x(p) = Ape , где e < 0 и A — некая

положительная константа. При изменении цены отp до q связанное с этим изменение излишка потребителя составляет

хорошо известную нам функцию спроса Кобба-Дугласа, x(p)=am/p. Изменение излишка потребителя для функции спроса Кобба-Дугласа есть

Табл.14.1 Сравнение CV, CS и EV.

ПРИМЕР: CV, EV и излишек потребителя

В тексте нами были подсчитаны компенсирующие и эквивалентные вариации дохода для функции полезности Кобба-Дугласа. В предыдущем примере мы подсчитали изменение излишка потребителя для функции полезности КоббаДугласа. Здесь мы сравниваем между собой эти три денежных меры влияния, оказываемого на полезность изменением цены.

Допустим, что цена товара 1 изменяется от 1 до 2, 3 и т.д., в то время как цена товара 2 остается без изменений на уровне1, а величина дохода неизменна и равна 100. В табл.14.1 показаны эквивалентная вариация дохода (EV), компенсирующая вариация дохода (CV) и изменение излишка потребителя

1 9

(CS) для функции полезности Кобба-Дугласа u(x1, x2) = x110 x102 .

Обратите внимание на то, что величина изменения излишка потребителя всегда находится между величинами CV и EV и что разница между этими тремя числами относительно мала. Можно показать, что оба указанных факта наблюдаются при достаточно общих условиях.

ГЛАВА 15

РЫНОЧНЫЙ

СПРОС

В предыдущих главах мы показали, как моделировать индивидуальный потребительский выбор. Здесь же мы объясним, как складывать результаты индивидуального выбора, чтобы получить общий рыночный спрос. Когда мы выведем кривую рыночного спроса, то обратимся к изучению ряда ее свойств, таких, как взаимосвязь между спросом и доходом.

15.1. От индивидуального спроса к рыночному

Обозначим функцию спроса i-го потребителя на товар 1 через xi1 (p1, p2, mi) и функ-

цию спроса i-го потребителя на товар 2 и через xi2 (p1, p2, mi)Ошибка! Не указан

аргумент ключа.. Предположим, что у нас имеетсяn потребителей. Тогда функция рыночного спроса на товар 1, именуемая также функцией совокупного спроса на товар 1, есть сумма этих функций индивидуального спроса по всем потребителям:

n

X1(p1, p2, mi, ... , mn) = å xi1 (p1, p2, mi).

i =2

Аналогичное уравнение справедливо и для товара 2.

Поскольку спрос каждого индивида на каждый товар зависит от цен и его денежного дохода, совокупный спрос обычно зависит от цен и отраспределения доходов. Иногда, однако, удобно представлять себе совокупный спрос как спрос некоего "представительного потребителя", доход которого как раз равен сумме всех индивидуальных доходов. Условия, при которых это может быть сделано, накладывают на исследование довольно большие ограничения, и обсуждение данного вопроса в полном его объеме выходит за рамки этой книги.

В случае принятия нами предпосылки о представительном потребителе функция совокупного спроса примет видX1(p1, p2, M)Ошибка! Не указан аргумент ключа., где M — сумма доходов индивидуальных потребителей При данной предпосылке совокупный спрос в экономике— то же самое, что спрос некоего индивида с доходом M, которому заданы цены (p1, p2Ошибка! Не указан аргумент ключа.).

Если считать все денежные доходы и цену товара2 постоянными, можно проиллюстрировать зависимость совокупного спроса на товар1 от его цены графиком, подобным изображенному на рис.15.1. Обратите внимание на то, что, рисуя эту кривую, мы принимаем цены всех других товаров и доходы неизменными. При изменении этих других цен и доходов произойдет сдвиг кривой совокупного спроса.

Рис. Кривая рыночного спроса. Кривая рыночного спроса есть сумма кривых ин-

15.1дивидуального спроса.