Теорема Клапейрона о работе внешних нагрузок

Работа внешних нагрузок, статически прикладываемых к упругой конструкции, равна половине суммы произведений обобщенных сил на соответствующие обобщенные перемещения, возникающие от действия всех нагрузок одновременно.

W_Σ=_i∆_iΣ,

где W_Σ – суммарная работа всех внешних нагрузок,

F_i – обобщенная сила,

∆_iΣ – обобщенное перемещение,

i, n - номер и число обобщенных сил.

∆_1Σ=θ ∆_3Σ=ω

F_i

F₂= P ∆_1Σ=q F₃=q

∆_2Σ=ν

F₁=M

Вычислим перемещение по направлению i-ой обобщенной силы, вызванное действием всех обобщенных сил. Воспользуемся принципом суперпозиции:

∆_iΣ=

Введем понятие о податливости упругой конструкции.

Податливость – это возможное перемещение по направлению i-i, вызванное действием возможной единичной обобщенной силы _j=1, приложенной по направлению j-j.

i j

_j=1

_ij

i j

_ij – податливость

i – направление перемещения

j – направление обобщенной силы

В причинно-следственной связи i – следствие, j – причина.

Преобразуем формулу для перемешения, учитывая физическую и геометрическую линейность.

∆_iΣ =A_iΣ= A_iΣF_i

A_iΣ=- число или коэффициент пропорциональности между обобщенной силой F_i и обобщенным перемещением ∆_iΣ.

Покажем параметрическую зависимость ∆_iΣ(t) =

∆_iΣ(t)

Ω_i

∆_iΣ,max=∆_iΣ

0

F_i,max=F_i

Работа, совершаемая силой F_i на перемешении ∆_iΣ, численно равна площади треугольника Ω_i .

W_Σ=∆_iΣ.

Теорема Бетти о взаимности работ и теорема Максвелла о взаимности перемещений

Теорема Бетти

Работа сил первого состояния (I группа сил) на перемещениях по их направлению, вызванных силами второго состояния (II группа сил), равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлению, вызванных силами первого состояния:

W₁₂=W₂₁

Рассмотрим две последовательности нагружения упругой конструкции двумя обобщенными силами F₁ и F₂.

Первая последовательность: статически прикладываем I силу F₁^, статически прикладываем II силу F₂ ^.

Вторая последовательность: прикладываем статически обе силы одновременно (F₁,F₂)^.

A F₁^{ B ∆}₂₁ A₁ B F₂^

∆_{11 A1 B1 F}^ _F1^ ∆_1Σ ∆_2Σ

F₁^ A₂ ∆₁₂ B₂ A₂ B₂

∆₁₁ – действительное перемещение по направлению I силы от действия этой же силы; ∆₂₂ – то же для II направления, ∆₁₂ – возможное перемещение по направлению I силы, вызванное действием второй силы, ∆₂₁ – то же для II направления.

∆_iΣ – перемещение по направлению I силы от действия двух сил одновременно, ∆_2Σ – то же для II направления.

Вычислим суммарную работу для обеих последовательностей нагружения:

W_Σ^I=

W₁₁, W₂₂, W₁₂ – действительная работа;

W_Σ^II=∆_1Σ∆_2Σ.

Согласно принципу произвольной очередности нарушения:

W_Σ^I = W_Σ^II или W₁₁+W₂₂+W₁₂ = W₁₁+W₂₂+.

Теорема Максвелла

Перемещение по направлению I обобщенной силы, вызванное действием II обобщенной силы, равно перемещению по направлению II обобщенной силы от действия I обобщенной силы при условии, что симленные значения сил равны:

∆₁₂=∆₂₁

Согласно теореме Бетти:

W₁₂=W_21, или F₁∆₁₂ = F₂∆₂₁;

При F₁ = F₂ = F получаем F∆₁₂ = F∆₂₁; ∆₁₂ = ∆₂₁.

Покажем пример. Даны два направления действительных или возможных перемещений I-I и II-II и две равных численно обобщенных силы F₁=P=10H; F₂=M=10H*м

I II

I II

F₁=P=10H I состояние конструкции

Θ_F=∆₂₁

Θ_M=∆₂₂ II состояние конструкции

F₂=M=10Hм

Вопрос: какие перемещения равны между собой численно? по горизонтали

по вертикали

по диагонали

Правильный ответ: , т.к. ∆₁₂=∆₂₁.

Прогиб под точкой приложения силы, вызванный моментом, равен углу поворота сечения под моментом, вызванный силой.