Комбинированный метод.

Этот метод заключается в двукратном расчете статически неопределенной рамы:

1. Методом сил;

2. Методом перемещений с последующим суммированием полученных решений.

Не смотря на двойное решение задачи, общее время решения оказывается меньше, чем если бы задачу решали одним из методов. Комбинированный метод используется при расчете конструктивно симметричных рам, нагруженных произвольной нагрузкой. Раскроем секрет этого парадокса: t₁+t₂<t!

Рассмотрим конструктивно симметричную раму, нагруженную одной силой Р.

P ось симметрии

С D С D C D

= Симметричное +

Антисимметричное нагружение

нагружение

A B A B A B

Вычислим степени статической и кинематической неопределимостей для двух методов.

1. Метод сил:

2. Метод перемещений:

Время для решения задачи пропорционально третьей степени n, т.е.

Представим силу Р в виде суммы симметричного и антисимметричного нагружения. При симметричном нагружении задачу выгодно решать методом перемещений, т.к.

, т.е. имеется только одна симметричная неизвестная Z₁ и для нее уравнение имеет вид:

При антисимметричном нагружении задачу выгодно решать методом сил, т.к. если разрезать раму по оси симметрии, то N₀=0; M₀=0; , т.е. имеется только одна антисимметричная неизвестная х₁ и для нее уравнение имеет вид:

Складывая время, получаем: t₁+t₂=α+α=2α<<t=27α.

Время решения рассмотренных частных задач двумя методами на порядок меньше времени решения общей задачи любым из методов.

Смежный метод.

При выборе метода решения статически и кинематически неопределимых рам необходимо сравнить между собой число неизвестных по двум основным методам: сил и перемещений. Анализируя различные схемы рам, можно сделать общий вывод, что, если конструкция имеет малое количество лишних связей и большую линейную податливость, то выгодным является метод сил, а если конструкция имеет большое количество лишних связей и малую линейную податливость, то преимущество переходит к методу перемещений.

Р Р

а) б)

n_л=3*6-2*8=2 n_л=3*4-2*5-2=0

1 1

1

2 2 3

1 1 1

Для схемы (а) выгоден метод сил:

Для схемы (б) выгоден метод перемещений.

n_ст=3*3-0-2*2=5;

n_k=1+0=1.

Встречаются конструкции, когда одна их часть имеет большое число лишних связей и малую податливость, а другая их часть, наоборот, имеет малое количество лишних связей и большую податливость. Для таких конструкций оказывается выгодным смешанный метод решения, когда в малоподатливой части за неизвестные принимают перемещения (углы поворота) Z_i, а в сильно податливой части неизвестные принимают усилия X_j.

х₂ х₁

х₂

х₁

Р

q

q

Р

Z₃ Z₄

Заданная система Эквивалентная система смешанного метода

n_ст=3*3-2=7 n_л=3*8-2*11=2

n_k=4+2=6

n_ст-k=2+2=4

Первый этап рамы выгодно решать методом перемещений, а второй этап рамы – методом сил. Покажем эквивалентную систему смешанного метода где введены две виртуальные заделки в жесткие узлы и удалены две реальные связи в шарнирном узле. Таким образом при смешанном методе решения n_ст-k<.

Система канонических уравнений смешанного метода запишется для данной рамы в следующем виде:

Здесь – перемещения по направлению отброшенных связейi, вызванные единичными силами - перемещения по направлению отброшенных связейi, вызванные единичными перемещениями виртуальных связей - реакции во введенных связяхi, вызванные единичными перемещениями виртуальных связей - реакции во введенных связяхi, вызванные действием единичных сил по направлению отброшенных связей - перемещения по направлению отброшенных связейi от действия нагрузки - реакции во введенных связях от действия внешней нагрузки.

Податливости и реакциинаходят обычными приемами метода сил и метода перемещений. Реакциинаходят из единичных схем нагружения силами. Перемещениянаходят по теореме о взаимности реакций и перемещений:.

Перемещения и реакцииот внешних нагрузок находят обычными приемами двух методов.

После решения системы канонических уравнений относительно , строят окончательную эпюру изгибающих моментов:

, где – единичные эпюры моментов в основной системе от действияили,- грузовая эпюра моментов в основной системе от действия внешней нагрузки.