§ 1.3. Монотонные последовательности

1.3.1. Предел монотонной ограниченной последовательности

Определение. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если при любом выполняется неравенство ( ). Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если при любом выполняется неравенство ( ). Во всех этих случаях последовательность называется монотонной.

Теорема. Неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Доказательство. Пусть последовательность неубывающая ограниченная сверху. Тогда найдётся такое число что при всех выполняется неравенство т.е. множество членов последовательности ограниченно сверху, значит, имеет супремум Покажем, что Действительно, по определению супремума при всех выполняется неравенство и для любого найдётся такое, что Тогда при всех имеем т.е. Теорема доказана.

Кроме того, мы доказали, что предел неубывающей ограниченной последовательности не меньше каждого её члена.

Следствие. Невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Доказательство. Если последовательность невозрастающая ограниченная снизу, то последовательность неубывающая ограниченная сверху. Следовательно, существует Тогда существует и

1.3.2. Бесконечно большие последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся такое, что при всех выполняется неравенство При этом говорят, что предел равен бесконечности:

Если для любого найдётся такое, что при всех выполняется неравенство то

Если для любого найдётся такое, что при всех выполняется неравенство то

Теорема. Если последовательность неубывающая неограниченная сверху, то

Доказательство. Так как последовательность неограниченная сверху, то для любого найдётся такое, что Тогда, т.к. неубывающая, при всех выполняются неравенства Значит,

Аналогично, если последовательность невозрастающая неограниченная снизу, то

Таким образом, справедлива общая теорема о монотонных последовательностях.

Теорема. У монотонной последовательности существует предел, конечный или бесконечный.

1.3.4. Число е

Числом сочетаний из элементов по (обозначается ) называется количество способов выбрать из множества, состоящего из элементов, подмножество, состоящее из элементов, Справедливо равенство, называемое биномом Ньютона

Теорема-определение. Последовательность имеет предел, и этот предел называется числом е.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что последовательность имеет предел, покажем, что она возрастает и ограниченна сверху. По формуле бинома Ньютона имеем

Тогда

Очевидно, что все слагаемые, начиная со второго, в меньше соответствующего слагаемого в последовательность является возрастающей.

Так как

то последовательность является ограниченной.

Следовательно, существует Теорема доказана.

Таким образом, согласно определению,