1.3.5. Теорема о вложенных стягивающихся отрезках

Определение. Система отрезков называется системой вложенных стягивающихся отрезков, если при любом и

Теорема. Система вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.

Доказательство. Так как то последовательность является неубывающей. Кроме того, для любого выполняется неравенство следовательно, последовательность является ограниченной. Следовательно, существует Так как для любых и выполняется неравенство то Кроме того, значит, при любом Таким образом, является общей точкой всех отрезков Предположим теперь, что общих точек две - и Так как то Но значит Теорема доказана.

§ 1.4. Сходящиеся подпоследовательности

1.4.1. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Последовательность называется подпоследовательностью последовательности если последовательностей индексов является возрастающей.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство. Пусть - ограниченная последовательность, т.е. существует такое, что при всех выполняется неравенство или Обозначим Разделим этот отрезок пополам. По крайней мере в одной из частей содержится бесконечно много членов последовательности обозначим эту часть (если в обеих частях содержится бесконечно много членов последовательности то можно взять любую). Продолжая деление каждого из выбранных отрезков пополам и выбирая ту часть, в которой содержится бесконечно много членов последовательности получим систему вложенных стягивающихся отрезков, имеющих общую точку

Построим теперь подпоследовательность Положим Так как в отрезке бесконечно много членов последовательности, то найдётся номер такой, что Если определено то найдётся номер такой, что и

Докажем, что т.е. что последовательность - сходящаяся. Зададим произвольно Так как то найдётся такое, что при всех справедливо неравенство Так как то значит, Таким образом, Теорема доказана.

Упражнение. Доказать, что из неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Таким образом, из любой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую предел, конечный или бесконечный.

1.4.2. Критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое, что при всех выполняется неравенство

Доказательство. Пусть Тогда для любого существует такое, что при всех выполняются неравенства следовательно,

Докажем в обратную сторону. Пусть последовательность такова, что для любого существует такое, что при всех выполняется неравенство Нужно доказать, что она сходится. Докажем, что она ограниченна. Возьмём тогда найдётся такое, что при всех выполняется неравенство Зафиксируем произвольное Тогда при любом выполняется неравенство Значит, последовательность ограниченна. Следовательно, из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность пусть Докажем, что тогда Возьмём произвольное Тогда существуют такие, что при всех выполняется неравенство а при всех выполняется неравенство Так как последовательность номеров возрастающая, то найдётся номер такой, что Тогда при всех выполняются неравенства следовательно Последовательность сходится. Теорема доказана.

Следствие. Последовательность расходится тогда и только тогда, когда существует такое, что для любого найдутся такие, что выполняется неравенство

Пример. Докажем, что последовательность не имеет предела. Рассмотрим разность Тогда при для любого найдутся такие, что выполняется неравенство Последовательность не имеет предела.