§32. Распределение Ферми-Дирака

Чтобы получить распределение Ферми-Дирака надо посчитать термодинамический потенциал :

- одночастичная большая статистическая сумма.

И с помощью посчитаем число состояний с учетом свойств Ферми-частиц.

Напомним, что:

здесь отсутствует взаимодействие между частицами, но имеет место обменное взаимодействие, т.е. за счёт спина (влияние сорта частиц на результат)

Для Ферми-частиц либо 1.

Рассчитаем для Ферми-газа:

где .

Мы получили распределение Ферми-Дирака. Это среднее число Ферми частиц в -том состоянии.

Придадим другой смысл. По определению:

Таким образом, это вероятность обнаружить одну Ферми частицу в -том состоянии:

§33. Распределение Бозе-Эйнштейна

Используем формулы:

, но здесь

Записав через получим:

Условие сходимости ряда:

равенство нулю реализуется для систем с не сохраняющимся числом частиц, например, для фотонного газа или аннигилирующих частиц.

Получим:

С помощью найдём среднее число частиц в-том состоянии:

И мы получили распределение Бозе-Эйнштейна.

Теперь можно объединить все три распределения в одну формулу и записать:

Мы получили выражение для числа частиц в зависимости от сорта частиц, т.е. от спина частиц.

Очевидно, что если выполняется критерий больцмановского распределения:

то все распределения переходят в больцмановское распределение:

Ограничения на химический потенциал:

- для Бозе-Эйнштейна

и- для Больцмана

- произвольный для Ферми-Дирака

§34. Ферми и Бозе газы элементарных частиц

Элементарная частица – значит что квантовые частицы рассматриваются как точки, не учитывая их структуры. Исследуем только поступательное движение этих частиц. В этом и есть смысл слов «элементарная частица».

В этом случае можем воспользоваться квазиклассическим приближением.

Здесь переходим от - номера квантового состояния в фазовое пространство.

это в квазиклассике, когда .

Состояние описывается фазовой точкой в фазовом пространстве. В фазовом пространстве имеем одну точку, т.к. состояние одночастичное.

В фазовом пространстве число частиц:

Пишем , т.к. рассматриваем поступательное движение, т.е. следует зависимость только от, а отнет зависимости, наша частица – как точка.

- кратность вырождения по спину

- число одночастичных состояний в элементарном объёме фазового пространства.

Поскольку энергия зависит только от , то можем проинтегрировать пои поставить объём:

Отсюда можно посчитать полное число частиц в системе и полную энергию системы.

(28)

с помощью этого соотношения преобразуем элементарный объём в импульсном пространстве, используя сферические координаты

Так как функция, стоящая перед не зависит от углов, а зависит только от модуля:

то можем проинтегрировать по углам. Учтем ещё, что:

Используем (28):

Значит:

Тогда число частиц, приходящихся на единичный интервал энергии:

здесь «+» -для Ферми-Дирака, а «-» - для Бозе-Эйнштейна.

Посчитаем среднюю энергию системы и среднее число частиц.

При переходе в термодинамику для наблюдаемых величин пишем:

и

Среднюю энергию и среднее число частиц можно посчитать ещё и таким способом:

- сумма по одночастичным состояниям

При переходе к квазиклассическому приближению имеем:

Точно так же рассчитывается термодинамический потенциал:

, где

Поэтому при подстановке вимеем:

«+» -для Ферми-Дирака, а «-» - для Бозе-Эйнштейна.

В квазиклассическом приближении получим:

- возникло при переходе к квазиклассике в переменные по энергии.

Здесь .