Тема 9. Потенціяльність електростатичного поля

Фізичні поняття

• Потенціяльне поле –це поле, робота сили якого на замкненій тра­єкторії дорів­нює нулеві (мал. 30):

(1)

де – робота сили поля при переміщенні з точки 1 в точку 2,– те саме з точки 2 в точку 1.

• Циркуляція будь-якого вектора вздовж зам­к­неного кон­ту­ра–це інтеграл вздовж замкненого контура від скалярного до­бу­т­ку цього вектора на елемент довжини цього контура:

• Ротор будь-якого вектора –це вектор

Задачі

(36) На основі означення потенціялу доведемо, що електро­ста­тичне поле є по­тенціяльне.

Нам слід довести, що в електростатичному полі виконується умова (1). Скористаємося означенням потенціялу. Дістанемо

(37) На основі означення роботи покажемо, що умовою по­тен­ці­я­льності електростатичного поля є рівність нулеві циркуляції вектора його напруженості вздовж будь-якого замкненого контура.

За означенням роботи умова потенціяльності (1) матиме вигляд

або

Стосовно електростатичного поля, підставивши умова (1) ви­глядатиме так:

(2)

Бачимо, що ліва частина рівності – не що інше як циркуляція век­тора напруженості електростатичного поля. Тому умовою потен­ці­яль­ності елек­тростатичного поля є рівність нулеві циркуляції його нап­руженості вздовж будь-якого замкненого контура.

(38) На основі теореми Стокса подамо умову потенціяльності електро­ста­тич­но­го поля в диференціяльній формі.

Зміст теореми Стокса: циркуляція будь-якого вектора (в тому числі і вектора напруженості електростатичного поля) вздовж зам­кне­ного контура дорівнює потоку ротора цього вектора через поверхню, обмежену цим кон­туром, тобто

На основі цієї теореми умова потенціяльності (2) може бути на­писана так:

звідки, оскільки

(3)

Ми отримали ще один запис потенціяльності елек­тро­ста­тич­ного поля, а саме диференціяльну її форму.

Тема 10. Зв'язок між напруженістю і потенціялом

Фізичні поняття

• Градієнт даної скалярної величини –це вектор, спря­мо­ва­ний у бік най­бі­льшого зростання цієї фізичної величини, модуль яко­го дорівнює відношенню зміни цієї фізичної величини до відстані в цьому напрямі найбільшого зростання, на якій відбулася ця зміна (позначення ):

• Еквіпотенціяльна поверхня – поверхня, у кожній точці якої потенціял одна­ковий.

Задачі

(39) Установимо зв'язок між напруженістю електростатичного поля та його потенціялом.

Згідно з означеннями потенціялу та роботи

де знак «–», який з’явився при заміні навказує на те, що век­торє протилежним до вектора зовнішньої сили(бо пробний зарядпози­тив­ний).

Знайдемо частинну похідну від за

Оскільки таотримаємо що

(1)

Аналогічно

, (2)

та

(3)

Але вектор як і будь-який інший, можна подати як лінійну комбіна­цію одиничних векторів

Взявши до уваги рівності (1), (2), (3), дістанемо

З цієї формули бачимо, що оскільки вектор спря­мо­ва­ний у бік найбільшого зростання потенціялу, то вектор– у бік його най­бі­льшого спадання.

(40) З формули зв’язку напруженості і потенціялу та теореми Остро­град­ського–Гауса отримаємо рівняння Пуассона.

Підставимо формулу зв’язку між напруженістю та потенціялом у формулу, яка виражає теорему Остроградського–Гауса в диферент­ція­льній формі Дістанемо

або

Оскільки операція дивергенції по­лягає в тому, що слід взяти по­хі­дні заівід компонентів вектора і додати їх, то остання рівність набуває вигляду

або скорочено

де – оператор Лапласа.

Остан­нє рівняння нази­ва­ють рі­внян­нями Пуассона. За умови це рів­нян­ня називаютьрівнян­ням Лапласа:

(41) Доведемо, що вектор напруженості електростатичного поля завжди нормальний до еквіпотенціяльної поверхні.

Виберемо систему координат так, щоб вектори табули до­тичні до екві­по­тен­ці­яльної поверхні (мал. 31). Тоді в цій точці дотику

і

(Пам’ятаємо, що похідна в будь-якій точ­ці – це кутовий коефіцієнт до­тичної в цій точці, а ос­кі­льки цей кутовий кое­фіцієнт до­рівнює нулеві, то і похідна дорівнює нуле­ві).

Тому, згідно з формулою зв’язку нап­руженості і потенціялу

що означає, що , тобто векторнормальний до цієї поверхні.

(42) Доведемо теорему про середнє значення потенціялу: потен­ціял у будь-якій точці простору дорівнює середньому зна­чен­ню потенціялу на будь-якій уявній сфері з центром в цій точці, яка не охоплює електричних зарядів.

Напишемо формулу для середнього значення потенціялу на сфері

і знайдемо похідну від за радіусом сфери

Згідно з формулою зв’язку між напруженістю і потенціялом це проек­ція вектора напруженості на радіус, тому

а за теоремою Остроградського–Гауса, оскільки в області обмеженій сферою електричні заряди відсутні, останній вираз дорівнює нулеві. Отже,

що означає, що не за­лежить від радіуса сфери, тобто середнє зна­чення по­тенціялу однакове на всіх сферах, в тому числі і на сфері нескін­ченно ма­лого радіуса, яка збігається з заданою точкою.

(43) Пояснимо метод елек­тро­ста­ти­ч­но­го очищення газів.

Для очищення газів беруть ве­ли­ку металеву бочку з провідником у її центрі, який ізольований від самої бочки (мал. 32).

Цей провід пе­ре­буває під ви­со­кою негативною на­п­ру­гою. Оскі­ль­ки поблизу проводу висока нап­ру­же­ність поля (велика густота сило­вих ліній), то повітря йоні­зу­ється і потік елек­тро­нів та йонів елек­тризує частинки до­мі­шок, які є в за­бруд­не­ному газі, не­га­тив­ним заря­дом.

Ці негатив­но на­електризовані частинки почи­на­ють рухатися проти поля і прилипають до стінок. Тоді їх струшують на дно бочки.