28233-pdf

linearum SM, ML datur etiam vis SM: & hæ sunt vires Solis quibus motus Lunæ perturbantur. Q. E. I.

Prop. XXVI. Prob. VI.

Invenire incrementum areæ quam Luna radio ad Terram ducto describit.

Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto describit, esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur. Inæqualitatem momenti (vel incrementi horarii) hic investigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunæ circularem esse, & inæqualitates omnes negligamus, ea sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem ver`o Solis distantiam ponamus etiam lineas QP , QS sibi

invicem parallelas esse. Hoc pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam quantitatem SP , ut & vis SM ad mediocrem suam quantitatem 3P K. Hæ vires, per Legum Corol. 2. componunt vim SL; & hæc vis, si in radium SP demittatur perpendiculum LE, resolvitur in vires SE, EL, quarum SE, agendo semper secundum radium SP , nec accelerat nec retardat descriptionem areæ QSP radio illo SP factam; & EL agendo secundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunæ, in transitu ipsius a` Quadratura C ad conjunctionem A, singulis temporis

momentis facta, est ut ipsa vis accelerans EL, hoc est ut 3PK×SK . Exponatur

SP

tempus per motum medium Lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum CSP , vel etiam per arcum CP . Ad CS erigatur Normalis CG ipsi CS æqualis. Et diviso arcu quadrantali AC in particulas innumeras æquales P p &c. per quas æquales totidem particulæ temporis exponi possint, ductˆaque pk perpendiculari ad CS, jungatur SG ipsis KP , kp productis occurrens in F & f; & erit Kk ad P K ut P p ad Sp, hoc est in data ratione, adeoque F K × Kk seu

area F Kkf ut 3PK×SK id est ut EL; & composit`e, area tota GCKF ut sum-

SP

ma omnium virium EL tempore toto CP impressarum in Lunam, atque ade`o etiam ut velocitas hac summˆa genita, id est, ut acceleratio descriptionis areæ CSP , seu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiescentem ad distantiam SP , tempore suo periodico CADBC dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvi posset, e ceret ut corpus, tempore CS cadendo, describeret longitudinem 12 CS, & velocitatem simul acquireret æqualem velocitati, qua Luna in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol. Prop. IV. Lib. I. Cum autem perpendiculum Kd in SP demissum sit ipsius EL pars tertia, & ipsius SP seu ML in octantibus pars dimidia, vis EL in Octantibus, ubi maxima est, superabit vim ML in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore suo periodico

261

circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad 23 × 1787212 seu 11915, & tempore CS velocitatem generare deberet quæ esset pars 11915100 velocitatis Lunaris, tempore autem CP A velocitatem majorem generaret in ratione CA ad CS seu SP . Exponatur vis maxima EL in Octantibus per aream F K × Kk rectangulo 12 SP × P p æqualem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis CP generare posset, erit ad velocitatem quam vis omnis minor EL eodem tempore generat ut rectangulum 12 SP × CP ad aream KCGF : tempore autem toto CP A, velocitates genitæ erunt ad invicem ut rectangulum 12 SP × CA & triangulum SCG, sive ut arcus quadrantalis CA ad radium SP . Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitatis posterior, toto tempore genita, erit pars

11915100 velocitatis Lunæ. Huic Lunæ velocitati, quæ areæ momento mediocri analoga est, addatur & auferatur dimidium velocitatis alterius; & si momentum

mediocre exponatur per numerum 11915 summa 11915 + 50 seu 11965 exhibebit momentum maximum areæ in Syzygia A, ac di erentia 11915 - 50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in Quadraturis. Igitur areæ temporibus æqualibus in Syzygiis & Quadraturis descriptæ, sunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad momentorum di erentiam 100 ut trapezium F KCG ad triangulum SCG (vel quod perinde est, ut quadratum Sinus P K ad quadratum Radii SP , id est ut P d ad SP ) & summa exhibebit momentum areæ, ubi Luna est in loco quovis intermedio P .

Hæc omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol & Terra quiescunt, & Luna tempore Synodico dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris ver` sit dierum 29. hor. 12. & min. 44. augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum,

quod erat pars 11915100 momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars 11023100 . Ideoque momentum areæ in Quadratura Lunæ erit ad ejus momentum in Syzygia ut

11023 - 50 ad 11023 + 50, seu 10973 ad 11073, & ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio P versatur, ut 10973 ad 10973 + P d, existente videlicet SP æquali 100.

Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis temporis particulis æqualibus describit, est quam proxim`e ut summa numeri 21910046 & Sinus versi duplicatæ distantiæ Lunæ a` Quadratura proxima, in circulo cujus radius est unitas. Hæc ita se habent ubi Variatio in Octantibus est magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major sit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille versus in eadem ratione.

Prop. XXVII. Prob. VII.

Ex motu horario Lunæ invenire ipsius distantiam a` Terra.

Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis momentis, describit, est ut motus horarius Lunæ & quadratum distantiæ Lunæ a` Terrˆa conjunctim; & propterea distantia Lunæ a` Terrˆa est in ratione compositˆa ex dimidiatˆ ratione Areæ direct` & dimidiatˆ ratione motus horarii invers`. Q. E. I.

Corol. 1. Hinc datur Lunæ diameter apparens: quippe quæ sit reciproc` ut ipsius distantia `a Terra. Tentent Astronomi qu`am prob`e hæc Regula cum Phænomenis congruat.

262

Corol. 2. Hinc etiam Orbis Lunaris accurati`us ex Phænomenis qu`am antehac definiri potest.

Prop. XXVIII. Prob. VIII.

Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.

ASq.+ 1000CSq.×AS. Nam se gravitas acceleratrix Terræ in Solem exponatur per numerum 178725, vis mediocris ML, quæ in Quadraturis est P S vel SK & Lunam trahit in Terram, erit 1000, & vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur a` Terra, quamque jam ante nominavi 2P K. Velocitas autem Lunæ in Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadraturis C & D ut CS, ad AS & momentum areæ quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem areæ in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073CS ad 10973AS. Sumatur hæc ratio bis invers` & ratio prior semel direct`e, & fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut 120407 × 178725ASq. × CSq. × N − 120407 × 2000AS qq. ×CS ad 122611 × 178725ASq. × CSq. × N + 122611 × 1000CS qq. ×AS, id est ut 2151969AS ×CS ×N −24081AS cub. ad 2191371AS ×CS ×N + 12261CS cub.

Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA, in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunæ representet, & ducendo Sp æqualem SP , ea lege ut angulus P Sp æqualis sit motui apparenti Solis a` tempore Quadraturæ

263

C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicæ Lunaris ad tempus revolutionis Periodicæ seu 29 d. 12. h. 440, ad 27 d. 7 h. 430. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA, & sit longitudo Sa æqualis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Apsis summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod di erentia inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S intervallo SA descripti, sit ad di erentiam inter curvaturam Ellipseos in vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp; & quod curvatura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC; & differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi, ad di erentiam inter curvaturam figuræ Spa in vertice C & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp. Quæ quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac di erentiarum angulorum facil`e colliguntur.

Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figuræ Cpa in a ad ipsius

curvaturam in C, ut AS cub. +10000016824 CSq. ×AS ad CS cub. +10000016824 ASq. ×CS. Ubi numerus 10000016824 designat di erentiam quadratorum angulorum CSP & CSp

applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP , seu (quod perinde est) di erentiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 430, & 29 d. 12 h. 440, applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 430.

Igitur cum a designet Syzygiam Lunæ, & C ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturæ Orbis Lunæ in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad AS × CS applicati, fiunt 2062,79CS qq. −2151969N × CS cub. +368682N × AS × CSq. + 36342ASq. × CSq. − 362046N × ASq. × CS + 2191371N × AS cub. +4051,4AS qq. = 0. Hic pro terminorum AS & CS semisummˆa N scribo 1, & pro eorundem semidi erentia ponendo x, fit CS = 1 + x, & AS = 1 − x: quibus in æquatione scriptis, & æquatione prodeunte resolutˆa, obtinetur x æqualis 0,0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, & semidiameter AS 0,9928, qui numeri sunt ut 691112 & 681112 quam proxim`e. Est igitur distantia Lunæ `a Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut 681112 ad 691112 , vel numeris rotundis ut 69 ad 70.

Prop. XXIX. Prob. IX.

Invenire Variationem Lunæ.

Oritur hæc inæqualitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex inæqualitate momentorum areæ, quam Luna radio ad Terram ducto describit. Si Luna P in Ellipsi DBCA circa Terram in centro Ellipseos quiescentem moveretur, & radio SP ad Terram ducto describeret aream CSP tempori proportionalem; esset autem Ellipseos semidiameter maxima CS ad semidiametrum minimam SA ut 691112 ad 681112 : foret Tangens anguli CSP ad Tangentem ang-

264

uli motus medii `a quadratura C computati, ut Ellipseos semidiameter SA ad ejus-

dem semidiametrum SC seu

681112 ad 691112 . Debet autem descriptio areæ CSP , in pro-

gressu Lunæ `a Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunæ sit ad ejus momentum in Quadratura ut 11073 ad 10973, utq; excessus momenti in loco quovis intermedio P supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli

CSP . Id quod satis accurat`e fiet, si tangens anguli CSP diminuatur in dimidia-

ta ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri 68100005958 ad numerum 681112 . Quo pacto tangens anguli CSP jam erit ad tangentem motus

medii ut 68100005958 ad 691112 , & angulus CSP in Octantibus, ubi motus medius est 45 gr. invenietur 44 gr. 270. 2900: qui subductus de angulo motus medii 45

gr. relinquit Variationem 320. 3100. Hæc ita se haberent si Luna, pergendo a` Quadratura ad Syzygiam, describeret angulum CSA graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terræ, quo Sol in antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum CSa angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodicæ ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 d. 12 h. 440. ad 27 d. 7 h. 430. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S dilatantur in eadem ratione, & Variatio quæ secus esset 320. 3100. jam aucta in eadem ratione, fit 350. 900. Hæc ab Astronomis constituitur 400, & ex recentioribus Observationibus 380. Halleius autem recentissim` deprehendit esse 380 in Octantibus versus oppositionem Solis, & 320 in Octantibus Solem versus. Unde mediocris ejus magnitudo erit 350: quæ cum magnitudine a` nobis inventa 350. 900 probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis di erentiis, quæ a` curvaturˆ Orbis magni, majorique Solis actione in Lunam falcatam & novam quam in Gibbosam & plenam, oriri possint.

Prop. XXX. Prob. X.

Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe circulari.

Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NP n Orbem Lunæ, Npn vestigium Orbis in plano Eclipticæ; N, n, Nodos, nT Nm lineam Nodorum infinit`e productam, P I, P K; perpendicula demissa in lineas ST , Qq; P p perpendiculum demissum in planum Eclipticæ; Q, q Quadraturas Lunæ in plano Eclipticæ & pK perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lunæ (per Prop. XXV.) duplex erit, altera lineæ 2IT vel 2Kp, altera lineæ P I proportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore

265

in lineam ST trahitur. Componitur autem vis posterior P I ex viribus IT & P T , quarum P T agit secundum planum orbis Lunaris,

&propterea situm plani nil mutat. Hæc igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2IT componit vim totam 3IT , qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et hæc vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3IT ad Radium

circuli multiplicatum per numerum 178,725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59,575. Cæterum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes `a Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineæ quæ `a Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum fer` minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quærimus, neglectis istiusmodi minutiis, quæ calculum nimis impeditum redderent.

Designet jam P M arcum, quem Luna dato tempore quam minimo describit,

&ML lineolam quam Luna, impellente vi præfata 3IT , eodem tempore describere posset. Jungantur P L, MP , & producantur eæ ad m & l, ubi secent planum Eclipticæ; inque T m demittatur perpendiculum P H. Et quoniam ML parallela est ipsi ST , si ml parallela sit ipsi ML, erit ml in plano Eclipticæ, & contra. Ergo ml, cum sit in plano Eclipticæ, parallela erit ipsi ML, & similia erunt triangula LMP , Lmp. Jam cum MP m sit in plano Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam Nn per Orbis illius Nodos N, n, ductam. Et quoniam vis qua lineola LM generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, e ceret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda esset LP , atque ade`o transferret Lunam de plano MP mT in planum LP lT ; motus Nodorum `a vi illa genitus æqualis erit angulo mT l. Est autem ml ad mP ut ML ad MP , adeoque cum MP ob datum tempus data sit, est ml ut rectangulum

ML × mP , id est ut rectangulum IT × mP . Et angulus mT l, si modo angulus

angulus T ml, seu ST N obliquus sit, erit angulus mT l adhuc minor, in ratione Sinus anguli ST N ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut IT × P H & Sinus anguli ST N conjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum

T P I, P T N & ST N.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existentibus, recti sint, lineola ml abibit in infinitum, & angulus mT l evadet angulo mP l æqualis. Hoc

266

autem in casu, angulus mP l est ad angulum P T M, quem Luna eodem tempore motu suo apparente circa Terram describit ut 1 ad 59,575. Nam angulus mP l æqualis est angulo LP M, id est angulo deflexionis Lunæ a` recto tramite, quam præfata vis Solaris 3IT dato illo tempore generare possit; & angulus P T M æqualis est angulo deflexionis Lunæ a` recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo retinetur, eodem tempore generat. Et hæ vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59,575. Ergo cum motus medius horarius Lunæ (respectu

33iv. 12v. ut contentum sub sinibus angulorum trium T P I, P T N, & ST N (seu distantiarum Lunæ `a Quadratura, Lunæ `a Nodo & Nodi `a Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de a rmativo in negativum, deque negativo in a rmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari.

Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram & Nodum Quadraturæ proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, singulis mensibus feruntur in antecedentia.

Corol. 1. Hinc si a dati arcus quam minimi P M terminis P & M ad lineam Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula P K, Mk, eademque pro-

ducantur donec secent lineam Nodorum Nn in D & d; erit motus horarius Nodorum ut area MP Dd & quadratum lineæ AZ conjunctim. Sunto enim P K, P H & AZ prædicti tres Sinus. Nempe P K Sinus distantiæ Lunæ `a Quadratura, P H Sinus distantiæ Lunæ `a Nodo, & AZ Sinus distantiæ Nodi `a Sole: & erit velocitas Nodi ut contentum P K × P H × AZ. Est autem P T ad P K ut P M ad Kk, adeoque ob datas P T & P M est Kk ipsi P K proportionalis. Est & AT ad P D ut AZ ad P H, & propterea P H rectangulo P D × AZ proportionalis, & conjunctis rationibus, P K × P H est ut contentum Kk × P D × AZ, & P K × P H × AZ ut Kk × P D × AZ qu. id est ut area P DdM, & AZ qu. conjunctim. Q. E. D.

Corol. 2. In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunæ, ideoque est ad 1600. 35000. 16iv. 36v.

ut quadratum Sinus distantiæ Nodorum `a Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut AZ qu. ad AT qu. Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum QAq, summa omnium arearum P DdM, quo tempore Luna pergit `a Q ad M, erit area QMdE quæ ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea P D describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea P D cadet extra circulum, & aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quæ, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam ver`o progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum æqualis sit areæ QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa omnium

267

arearum P DdM, quo tempore Luna semicirculum describit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At area P DdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu P M & radio MT ; & summa omnium huic æqualium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit æquale duobus circulis, duplo majus est qu`am rectangulum prius. Proinde Nodi, eˆa cum velocitate uniformiter continuatˆ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo majus describerent qu`am revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium a` se inæquabili cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunæ. Unde cum motus orarius maximus,

si Nodi in Quadraturis versantur, sit 3300. 10000. 33iv. 12v, motus mediocris horarius in hoc casu erit 1600. 35000. 16iv. 36v. Et cum motus horarius Nodorum semper

sit ut AZ qu. & area P DdM conjunctim, & propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lunæ ut AZ qu. & area P DdM conjunctim, id est (ob datam aream P DdM in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 1600. 35000.

16iv. 36v. ut AZ qu. ad AT qu. Q. E. D.

Prop. XXXI. Prob. XI.

Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico.

Designet Qpmaq Ellipsim, axe majore Qq, minore ab descriptam, QAq circulum circumscriptum, T Terram in utriusque centro communi, S Solem, p Lunam in Ellipsi moventem, & pm arcum quem data temporis particula quam minima describit, N & n Nodos linea Nn junctos, pK & mk perpendicula in axem Qq demissa & hinc inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & lineæ Nodorum in D & d. Et si Luna, radio ad Terram ducto, aream describat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipsi ut area pDdm.

Nam si P F tangat circulum in P , & producta occurrat T N in F , & pf tangat Ellipsin in p & producta occurrat eidem T N in f, conveniant autem hæ Tangentes in axe T Q ad Y ; & si ML designet spatium quod Luna in circulo

268

revolvens, interea dum describit arcum P M, urgente & impellente vi prædicta 3IT , motu transverso describere posset, & ml designet spatium quod Luna in Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3IT , describere posset; & producantur LP & lp donec occurrant plano Eclipticæ in G & g; & jungantur F G & fg, quarum F G producta secet pf, pg & T Q in c, e & R respectiv`e, & fg producta secet T Q in r: Quoniam vis 3IT seu 3P K in circulo est ad vim 3IT seu 3pK in Ellipsi, ut P K ad pK, seu AT ad aT ; erit spatium ML vi priore genitum, ad spatium ml vi posteriore genitum, ut P K ad pK, id est ob similes figuras P Y Kp & F Y Rc, ut F R ad cR. Est autem ML ad F G (ob similia triangula P LM, P GF ) ut P L ad P G, hoc est (ob parallelas Lk, P K, GR) ut pl ad pe, id est (ob similia triangula plm, cpe) ut lm ad ce; & invers` ut LM est ad lm, seu F R ad cR, ita est F G ad ce. Et propterea si fg esset ad ce ut fY ad cY , id est ut fr ad cR, (hoc est ut fr ad F R & F R ad cR conjunctim, id est ut fT ad F T & F G ad ce conjunctim,) quoniam ratio F G ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad F G & fT ad F T , foret fg ad F G ut fT ad F T ; propterea quod anguli, quos F G & fg subtenderent ad Terram T , æquarentur inter se. Sed anguli illi (per ea quæ in præcedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum P M, in Ellipsi arcum pm percurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi æquarentur inter se. Hæc ita se haberent, si modo fg esset ad ce ut fY ad cY ,

id est si fg æqualis esset ce×fY . Verum ob similia triangula fgp, cep, est fg

cY

ad ce ut fp ad cp; ideoque fg æqualis est cecp×fp , & propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad angulum priorem, quem F G subtendit, hoc est motus

Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut hæc fg seu ce×fp ad

cp

hoc est, si pb ipsi T N parallela occurrat F P in b, ut F b ad F Y & F Y ad F P ; hoc est ut F b ad F P seu Dp ad DP , adeoque ut area Dpmd ad aream DP Md. Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipsi. Q. E. D.

Corol. Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium arearum pDdm, quo tempore Luna pergit `a Quadratura ad locum quemvis m, sit area mpQEd, quæ ad Ellipseos Tangentem QE terminatur; & summa omnium arearum illarum, in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus

mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo,

ut Ellipsis ad circulum, id est ut T a ad T A, seu 681112 ad 691112 . Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad 1600. 35000. 16iv. 36v. ut

AZ qu. ad AT qu. si capiatur angulus 1600. 21000. 2iv. 36v. ad angulum 1600. 35000.

16iv. 36v. ut 681112 ad 691112 , erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellipsi ad 1600. 21000. 2iv. 36v. ut AZq. ad AT q.; hoc est ut quadratum Sinus distantiæ

Nodi `a Sole ad quadratum Radii.

Cæterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit in Syzygiis qu`am in Quadraturis, & eo nomine tempus in Syzygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tempore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areæ in Quadraturis Lunæ ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073; & propterea momentum mediocre in Octantibus est ad

269

excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidi erentiam 50. Unde cum tempus Lunæ in singulis Orbis particulis æqualibus sit reciproc` ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem a` Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momentorum areæ in locis singulis, supra momentum minimum in Quadraturis, sit ut quadratum Sinus distantiæ Lunæ a` Quadrantibus quam proxim`e; & propterea di erentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in Octantibus, est ut di erentia inter quadratum Sinus distantiæ Lunæ a` Quadraturis & quadratum Sinus graduum 45, seu semissem quadrati Radii; & incrementum temporis in locis singulis inter Octantes & Quadraturas, & decrementum ejus inter Octantes

&Syzygias est in eadem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas æquales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurrit P M, (cæteris paribus) ut ML, & ML est in duplicata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; estque decrementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum ver`o totum ut 100 ad 11073 quam proxim`e. Decrementum autem in locis inter Octantes & Syzygias,

&incrementum in locis inter Octantes & Quadraturas, est quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & di erentia inter quadratum Sinus distantiæ Lunæ `a Quadratura & semissem quadrati Radii ad semissem quadrati Radii, conjunctim. Unde si Nodi in Quadraturis versentur, & capiantur loca duo æqualiter ab Octante hinc inde distantia, & alia duo `a Syzygiˆa & Quadraturˆ iisdem intervallis distantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam & Octantem, subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quæ sunt inter Octantem & Quadraturam; decrementum reliquum æquale erit decremento in Syzygia: uti rationem ineunti facil`e constabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta decrementi in Syzygia. Motus

totus horarius Nodorum in Syzygiis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem describere supponebatur) erat 3200. 42000. 5iv. 12v. Et decrementum motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior describit idem

spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoque decrementum illud est 17000. 43iv. 10v, cujus pars quarta 4000. 25iv. 48v, motui horario mediocri superius invento 1600. 21000. 2iv. 36v. subducta, relinquit 1600. 16000. 36iv. 48v.

motum mediocrem horarium correctum.

Si Nodi versantur extra Quadraturas, & spectentur loca bina `a Syzygiis hinc inde æqualiter distantia; summa motuum Nodorum, ubi Luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi Luna in iisdem locis & Nodi in Quadraturis versantur, ut AZ qu. ad AT qu. Et decrementa motuum, `a causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem ut ipsi motus, adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut AZ qu. ad AT qu. & motus mediocres ut motus reliqui. Est itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque Nodorum situ, ad 1600. 16000. 36iv. 48v. ut AZ qu. ad AT qu.; id est ut quadratum Sinus distantiæ Nodorum

270