2. Кинематики точки

2.1. Краткие теоретические сведения

Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. IX, §36-46, с. 95-116, [3], гл. IX,§9.1-9.8, с. 123-153.

Кинематика точки рассматривает две основные задачи.

А) Задача задания движения точки.

Движение точки в пространстве считается заданным, если найден способ, при помощи которого каждому моменту времени t однозначно ставится в соответствие положение точки в пространстве.

Б) Задача определения кинематических характеристик движения точки – скорости точки и ускорения точки.

Существует три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Для того, чтобы задать движение точки векторным способом, нужно радиус-вектор движущейся точкиМ относительно центра О (рис. 2.1), принимаемого за неподвижную точку, задать как функцию времени .

По определению скорость точки в данный момент времени – это вектор, равный производной от радиуса-вектора движущейся точки по времени и направленный по касательной к траектории точки в сторону движения:

=. (2.1)

В декартовой системе координат Oxyz, принимаемой за неподвижную, радиус- вектор движущейся точки (рис. 2.1) определяется равенством

,

где – орты координатных осей;

x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.2)

Уравнения (2.2) являются уравнениями движения точки, заданными координатным способом. Эти же уравнения являются уравнениями траектории точки (рис. 2.1) в параметрическом виде, где параметром является время t. Для определения траектории точки в случае задания ее движения координатным способом необходимо из уравнений (2.2) исключить время t. Для вычисления скорости точки, заданной координатным способом, по формуле (2.1) имеем

,

где ,,(2.3) – проекции вектора скорости на неподвижные декартовы координаты. Модуль скорости точки определяется формулой

. (2.4)

Направление вектора скорости задается направляющими косинусами:

, ,.

Рис. 2.1

Ускорение точки определяется как первая производная от вектора скорости по времени:

,

где ,,(2.5)

– проекции вектора ускорения точки на неподвижные декартовы координаты.

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (2.6)

а направление вектора ускорения – направляющими косинусами:

, ,.

Движение точки может быть задано также естественным способом. При этом способе должна быть известна траектория точки и задан закон движения точки М по этой траектории: s = s(t), где s =M₀M – дуга, отсчитываемая на траектории от начального положения точки M₀.

Для определения положения точки на траектории задается также направление положительного отсчета дуги (рис. 2.2).

При этом способе используются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис. 2.3) и единичными векторами ,,.

Единичный векторнаправлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги, единичный векторнаправлен по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, единичный векторнаправлен по бинормали к траектории в точкеМ.

Орты илежат в соприкасающейся плоскости, ортыив нормальной плоскости, ортыи- в спрямляющей плоскости.

Скорость точки при естественном способе задания движения точки определяется формулой

, (2.7)

где проекция вектора скорости на касательную определяется по формуле

.

Модуль вектора скорости V = ||.

Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается на касательную и нормальную составляющие:

,

где проекция вектора ускорения на касательную

(2.8)

называется касательным (тангенциальным) ускорением.

Касательное ускорение характеризует «быстроту» изменения величины скорости. При a_ V_ > 0 (векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону) точка в данный момент времени движется ускорено, при a_  V_ < 0 (векторы касательного ускорения и скорости направлены в разные стороны) – замедленно. Проекция ускорения на главную нормаль

, (2.9)

где  – радиус кривизны траектории в точке М называется нормальным ускорением. Модуль вектора ускорения определяется по формуле

. (2.10)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами ,.