3. Кинематический анализ плоского механизма

3.1. Краткие теоретические сведения

Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. X, §48–51, с. 117–126; гл. XI,§52–57, с. 127–140. [3], гл. Х, §10.1–10.2, с. 159–168; гл. XI,§11.1–11.4, с. 168–177.

Кинематика твердого тела. Простейшие движения твердого тела

Кинематика твердого тела рассматривает три основные задачи

А) Задача задания движения тела.

Б) Задача определения кинематических характеристик твердого тела – угловой скорости и углового ускорения тела.

В) Задача определения кинематических характеристик отдельных точек тела – задача распределения скоростей и ускорений.

Простейшими движениями твердого тела являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению.

При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек одинаковы, а их скорости и ускорения в каждый момент времени равны между собой. Следовательно, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки, т. е. связано с кинематикой точки.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Прямая, проходящая через неподвижные точки тела, называется осью вращения тела.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси задается углом поворота φ между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения z (рис. 3.1), одна из которых П₁, неподвижна, а другая П, неизменно связана с вращающимся телом.

Уравнение

φ = φ(t) (3.1)

определяет закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Угол φ обычно задают положительным, если он откладывается от неподвижной плоскости против хода часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае, если смотреть с конца осиz. Дуговая стрелка на рис. 3.1 показывает направление положительного отсчета угла φ.

Состояние движения вращающегося тела в данный момент времени характеризуется вектором угловой скорости , направленным вдоль оси вращения, ивектором углового ускорения , также направленным вдоль оси вращения (рис. 3.1).

Проекции вектора угловой скорости и вектора углового ускорения на ось z определяются по формулам

Рис. 3.1

(3.2)

Если , то направление вектора угловой скоростисовпадает с положительным направлением осиz, и вращение тела происходит против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси; если , то векторнаправляется в отрицательную сторону осиz, и вращение тела происходит по ходу часовой стрелки.

Если , то направление вектора углового ускорениясовпадает с положительным направлением осиz, если , то векторнаправляется в отрицательную сторону осиz.

Если иимеют одинаковые знаки, то вращение тела будет ускоренным, если разные, то – замедленным.

Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равномерным, если оно происходит с постоянной угловой скоростью

const.

Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равнопеременным, если оно происходит с постоянным угловым ускорением

const.

Если при этом иимеют одинаковые знаки, то вращение тела называетсяравноускоренным, если иимеют разные знаки, то –равнозамедленным.

Траекториями точек тела при вращательном движении являются окружности, центры которых лежат на оси вращения z (рис. 3.2), а векторы скоростей точек тела по модулю пропорциональны расстояниям до центра вращенияr (радиусам вращения) и равны

V = ω · r.

(3.3)

Векторы скоростей точек тела направляются по касательным к окружностям в сторону вращения тела. Дуговая стрелка на рис. 3.2 указывает направление вращения тела.

Рис. 3.2

Ускорения произвольных точек М тела при вращательном движении раскладываются на касательную и нормальную составляющие:

,

модули которых определяются по формулам

(3.4)

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории точки в сторону вращения тела (рис. 3.2), еслииимеют одинаковые знаки, и в обратную сторону, еслииимеют разные знаки.

Вектор нормального ускорения всегда направлен по радиусу вращения к оси вращения тела.