1.5 Оптимізація, її методи та застосування

Задача оптимізації полягає у знаходженні оптимального значення цільової функції на допустимій множині. Розв'язати оптимізаційну задачу — означає знайти її оптимальний розв'язок  або встановити, що розв'язку немає. Методи розв'язування оптимізаційних задач називають методами математичного програмування. Оптимізаційні моделі бувають двох типів: задачі мінімізації і задачі максимізації.

Задача оптимізації це тобто задача про знаходження екстремуму (мінімуму

або максимуму) дійсної функції у деякій області. Як правило, розглядаються області, що належать  і задані набором рівностей і нерівностей.

Звичайна постановка задачі оптимізації така: в деякому просторі  тим чи іншим засобом виділяється деяка непуста множина точок цього простору, яку називають припустимою множиною. Далі фіксується деяка дійсна функція, що задана в усіх точках допустимої множини. Вона називається цільовою функцією. Задача оптимізації полягає в тому, щоб знайти точкув множині, для якої функція приймає екстремальне (максимальне або мінімальне) значення. В першому випадку для всіх точок  множини  задовольняється нерівність , в другому випадку – нерівність.

В практичних задачах можливі дві основні постановки оптимізаційних задач. В першому випадку задача розглядається в звичайному (евклідовому) просторі кінцевої розмірності. Точками  допустимої множини будуть кортежі  дійсних чисел, цільовою ж функцією  буде звичайна дійсна функція від  дійсних аргументів. Таку задача називається задачею оптимізації функцій.

В другому випадку постановки оптимізаційної задачі в якості припустимої множини виступає деяка множина  функцій дійсних змінних , а цільовою функцією є деякий функціонал, який ставить у відповідність кожній функції деяке дійсне число . Ця задача називається задачею оптимізації функціоналів або варіаційною задачею.

Оптимізація полягає в знаходженні найкращого варіанта.

Методи оптимізації застосовуються до пошуку розрахунку оптимальної технології, оптимальної геометричної конструкції, найкращого часу для технологічних процесів і подібних задач. 

Параметрична оптимізація

Багатокритеріальна (векторна) оптимізація

Однокритеріальна оптимізація

Однопараметрична оптимізація

Багатопараметрична оптимізація

Безумовна оптимізація

Оптимізація з умовами-математичне програмування

Схоластичне програмування

Динамічне програмування

Нелінійне програмування

Опукле програмування

Неопукле програмування

Дискретне програмування

Квадратичне

програмування

Лінійне програмування

Цілочислове

програмування

Геометричне

програмування

Кусково-лінійне програмування

Сепарабельне програмування

Рис. 1.1 – Класифікація задач оптимізації

1.5.1 Багатокритеріальна оптимізація системи

Багатокритеріальна оптимізація  — це процес одночасної оптимізації двох або більше конфліктуючих цільових функцій в заданій області визначення.

Задачі багатокритеріальної оптимізації зустрічаються в багатьох галузях науки та техніки.

Задача багатокритеріальної оптимізації формулюється таким чином:

,

де це цільових функцій. 

Вектори розв'язків належать до не порожньої області визначення .

Задача багатокритеріальної оптимізації полягає у пошуку вектора цільових змінних, який задовольняє накладеним обмеженням та оптимізує векторну функцію, елементи якої відповідають цільовим функціям. Ці функції утворюють математичне описання критерію задовільності та, зазвичай, взаємно конфліктують. Звідси, «оптимізувати» означає знайти такий розв'язок, за якого значення цільових функцій були б прийнятними для постановки задачі.

Багатоцільовий підхід до рішення оптимізаційних задач можна розглядати, як двоетапний процес. На першому етапі будується багатоцільова математична модель задачі, а на другому – розробляється (або обирається з уже відомих) метод її реалізації.

Коли замість однієї цільової функції   задано декілька цільових функцій , то така задача багатокритеріальної оптимізації має декілька постановок. В одній з них потрібно оптимізувати один з критеріїв, припустимо,, причому решту критеріїв утримують в заданих межах:. В цьому разі фактично йдеться про звичайну багатокритеріальну оптимізацію. Що ж до нерівностей, які обмежують інші критерії, то їх можна розглядати, як додаткові обмеження на припустиму область.

В другому випадку постановка полягає в упорядкуванні заданої множини критеріїв та послідовній оптимізації за кожним з них. Інакше, якщо проводять оптимізацію за першим критерієм , то одержують деяку множину , на якій функція  приймає оптимальне (екстремальне) значення. Прийнявши його за нову допустиму множину, проводять оптимізацію за другим критерієм та одержують в результаті нову допустиму множину . Якщо продовжити цей процес, то можна одержати після оптимізації за останнім критерієм множину , яка і буде кінцевим результатом багатокритеріальної оптимізації.

Звідси, якщо на деякому кроці   множина  зведеться до однієї точки, процес оптимізації можна буде закінчити, оскільки . Зрозуміло, що як і в випадку звичайної однокритеріальної оптимізації, задача може взагалі не мати розв’язку.

Третя постановка застосовує процес зведення багатьох критеріїв до одного за рахунок введення апріорних вагових коефіцієнтів  для кожного з критеріїв . В якості таких коефіцієнтів можуть бути вибрані будь-які дійсні числа. Їх значення вибирають, виходячи з інтуїтивного подання ступеня важливості різних критеріїв: більш важливі критерії одержують ваги з більшими абсолютними значеннями. Після встановлення ваг багатокритеріальна задача зводиться до однокритеріальної з цільовою функцією .

Замість простої лінійної комбінації вхідних критеріїв можуть використовуватися і більш складні засоби формування з них нового критерію.

На сьогоднішній день цілі багатокритеріальних задач можуть знаходитися в наступних відношеннях:

• Цілі залежно нейтральні. Система може характеризуватися і розглядатися незалежно.

• Цілі кооперуються. Тут, як правило, систему вдається розглядати з застосуванням одної цілі, а інші досягаються одночасно.

• Цілі конкурують. В цьому випадку одну із цілей можна досягти лише за рахунок іншої.

Тож існують процедури рішення такого роду багатокритеріальних задач:

Рис.1.2 Структура процедур рішення багатокритеріальних задач

Як відомо, ці методи переплітаються один з одним, тому дана структура не закінчена повністю, а лише допомагає краще зрозуміти шляхи вирішення проблем.

Очевидно, що багатокритеріальні задачі математичного програмування не мають універсального способу розв’язування. Отже, вибір та коректне застосування будь-якого з наведених способів залишається за суб’єктом прийняття рішень. Завдання математичного програмування полягає в забезпеченні потрібною кількістю науково обґрунтованої інформації, на підставі якої здійснюється вибір управлінського рішення.