1.5.2 Застосування багатокритеріальної оптимізації (Зведення багатокритеріальної задачі до однокритеріальної)

Найбільш поширеним евристичним прийомом вирішення тієї чи іншої конкретної багатокритеріальної задачі є її зведення до рішення деякої скалярної (однокритеріальної) задачі, цільова функція якої найчастіше являє собою певну комбінацію наявних критеріїв . Такий прийом носить назву скаляризації багатокритеріальної задачі. Залежно від способу комбінування наявних декількох критеріїв в єдиний скалярний, отримуємо той чи інший тип скаляризації, який обираємо виходячи із суті розв'язуваної задачі і наявності додаткової інформації про переваги.

Найпростіший спосіб скаляризації заснований на використанні так званої лінійної згортки критеріїв

На практиці процес скаляризації починають з підбору коефіцієнтів лінійної згортки, тобто чисел Ці числа трактують, як якісь «ваги» або «коефіцієнти важливості» відповідних критеріїв, так що більш важливому з них призначають більший коефіцієнт в лінійній згортці критеріїв, а менш важливому - менший.

Зведемо багатокритеріальну задачу до однокритеріальної за допомогою лінійної згортки:

Математична модель задачі багатокритеріальної оптимізації має наступний вигляд:

Задаємо вагові коефіцієнти, які визначають ступінь важливості кожного критерію:

Мінімізуємо лінійну комбінацію цільових функцій, тобто розв’язуємо задачу:

1.5.3 Однокритеріальна оптимізація системи

Задачі однокритеріальної оптимізації діляться на задачі умовної (шукається оптимальне рішення, що задовольняє деякі обмеження і цільову функцію) і безумовної (коли шукається оптимальне рішення, що задовольняє цільову функцію) оптимізації.

Задачами безумовної оптимізації називаються такі, в яких задається лише одна цільова функція. У таких задачах не існує обмежень і граничних умов. Моделі безумовної оптимізації мають теоретичний характер, оскільки на практиці граничні умови задаються завжди. У цих задачах поняття оптимуму та екстремуму збігаються, і для знаходження оптимуму в них застосовуються методи знаходження екстремуму.

В задачах безумовної оптимізації відсутні обмеження. Методи БО діляться на однопараметричні і багатопараметричні.  В задачах однопараметричної оптимізації цільова функція є функцією одного керованого параметра, в задачах багатопараметричної оптимізації – функцією кількох керованих параметрів.

Задачі умовної оптимізації ділять на задачі з обмеженнями у вигляді рівнянь, у вигляді нерівностей, із змішаними обмеженнями.

Метод штрафних функцій

Основна задача методу штрафних функцій полягає в перетворенні задачі мінімізації функції , з відповідними обмеженнями, накладеними на, в задачу пошуку мінімуму без обмежень функції.

Функція є штрафною. Необхідно, щоб при порушенні обмежень вона «штрафувала» функцію, тобто збільшувала її значення. В цьому випадку мінімум функціїбуде знаходитися всередині області обмежень. Функція, що задовольняє цій умові, може бути не єдиною. Задачу мінімізації можна сформулювати наступним чином:

мінімізувати функцію , при обмеженнях.

Функцію зручно записати наступним чином:

,

где r – положительная величина.

Тогда функция принимает вид

.

Если х принимает допустимые значения, т.е. значения, для которых , то Z принимает значения, которые больше соответствующих значений (истинной целевой функции данной задачи), и разность можно уменьшить за счет того, что r может быть очень малой величиной. Но если х принимает значения, которые хотя и являются допустимыми, но близки к границе области ограничений, и по крайней мере одна из функций близка к нулю, тогда значения функции , и следовательно значения функции Z станут очень велики. Таким образом, влияние функции состоит в создании «гребня с крутыми краями» вдоль каждой границы области ограничений. Следовательно, если поиск начнется из допустимой точки и осуществляется поиск минимума функции без ограничений, то минимум, конечно, будет достигаться внутри допустимой области для задачи с ограничениями. Полагая r достаточно малой величиной, для того чтобы влияние было малым в точке минимума, мы можем сделать точку минимума функции без ограничений совпадающей с точкой минимума задачи с ограничениями.