14.7. Проблема дедукции в логике высказываний

Помимо равносильности в логике широко используется отношение следования. Говорят, что формула S является следствием множества формул H (записывается так: H├S) если при всех интерпретациях, при которых истинны все формулы из H, истинна также и формула S [32].

Таким образом, тавтология – следствие из пустого множества формул. Записывается так: ├T, т.е. слева от знака ├ нет символа, но он подразумевается равным константе 0, – как в факте.

S является следствием из H тогда и только тогда, когда их импликация истинна H→S≡1:

(H├S)↔[(H→S)≡1];

├(H→S).

Если рассматривается множество формул или гипотез H₁,H₂,…,H_n, то (H₁,H₂,…,H_n)├S↔├(H₁×H₂×…×H_n)→S – т.е. подразумевается импликация из конъюнкций этих формул, которая общезначима. Таким образом, из множества формул выводима формула S (├S).

Фундаментальная проблема логики: определить является ли S следствием из множества формул H (проблема дедукции).

Проблема описывается так: необходимо установить общезначимость следования H→S.

Доказательство может быть проведено следующим образом:

,

или, наоборот, путем доказательства невыполнимости:

.

Во втором случае говорят, что доказывают невыполнимости объединения формулы H и формулы S.

15. Проверка правильности логических выводов. Метод резолюций

15.1. Закон контрапозиции

На основе данного сложного высказывания АВ можно сформулировать обратное ему высказывание BA. Нетрудно убедиться, что оно не равносильно исходному.

Для всякого сложного высказывания AB можно сформулировать противоположное . Нетрудно убедиться, что оно не равносильно исходному.

Высказывание типа называется обратно – противоположным.

Нетрудно убедиться, что оно равносильно исходному:

.

Такая равносильность называется законом контрапозиции [25].

Согласно этому закону:

1. высказывания AB и одновременно истинны либо одновременно ложны;

2. высказывание, которое является обратно противоположной данной теореме AB также является теоремой (здесь сложное высказывание называется теоремой);

3. вместо данной теоремы можно доказать обратно противоположную ей теорему.

Кроме того, если высказывание AB – теорема, то A есть достаточное условие B, а B – необходимое условие A.

Если оба высказывания являются теоремами (AB, BA; т.е. AB), то A – необходимое и достаточное условие B, а B – необходимое и достаточное условие A.

Если AB – теорема, а BA не теорема, то A – достаточное, но не необходимое условие B, а B – необходимое, но не достаточное условие A.

15.2. Логическое следование. Проверка правильности логических выводов

Когда говорят, что из высказывание P₁ следует P₂ (т.е. P₁P₂), подразумевают, что всякий раз, когда истинно высказывание P₁, истинно и высказывание P₂.

Импликация P₁P₂≡1 является общезначимой формулой (т.е. формула тождественно истинна).

«Я работаю в фирме»  «Я работаю в фирме или в корпорации».

A(AB) – соответствующая формула является тавтологией.

Предложение 1. «Если студент много занимается, то он успешно сдает экзамен по математической логике», AB.

Предложение 2. «Если студент «провалился» на экзамене по математической логике, то он не занимался» .

Следует ли из первого предложения второе?

.

Здесь мы использовали формулы равносильных преобразований из дискретной математики.

Таким образом, из первого предложения следует второе предложение, – и это закон контрапозиции. Логический вывод подразумевает наличие посылок или гипотез и вывода или заключения.

Для проверки правильности логических выводов необходимо убедиться, что из конъюнкции посылок следует заключение.