матанчик 4 идз

31

неперервних частинних похідних функцій u(x, y)

i v(x, y), що

задовольняють умовам Коші - Рімана.

Для будь-якої аналітичної функції

f (z) маємо

′

∂u

∂v ∂v

∂u

∂u

∂u ∂v

∂v

f (z) =

+ i

=

− i

=

− i

=

+ i

∂x

∂x

∂y

∂y

∂x

∂y

∂y

∂x

Якщо функція

f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)

аналітична в деякій області

D , то дійсна і уявна частини цієї функції в області D є розв’язком

рівняння Лапласа:

∂

2u

+

∂2u

= 0 та

∂2v

+

∂2v

= 0

∂x2

∂y2

∂x2

∂y2

формула Коші. Нехай неперервна функція

w = f (z)= u(x, y)+ iv(x, y)

задана

в області D , а C

– гладка або

кусково-гладка

лінія, що

належить області D. Тоді

ò f (z)dz = ò(u + iv)(dx + idy)= òudx − vdy + iòvdx + udy

(2.1)

C

C

C

C

z1 f (z)dz =F(z)

z1

= F(z )− F(z

),

(2.2)

ò

z0

1

0

z0

′

(z)= f (z).

де F(z) - первісна функція для f (z): F

ò f (z)dz = 0

(2.3)

C

f (z0 )=

1

f (z)

dz

(z0 D),

(2.4)

2πi ò z − z0

C

де при обігу контуру C область D залишається зліва.

Якщо функція f (z) аналітична в області D і на її межі

C , то

для будь-якого натурального n має місце формула

f (n)(z0 )=

n!

f (z)dz

,

(2.5)

2π i Cò

(z − z0 )n+1

R = lim

cn

або

R = lim

1

,

cn+1

n

→∞

n→∞ n

c

якщо існують відповідні границі.

n

Функція f(z), що аналітична

в крузі

z - z0

< R,

може

бути

єдиним

чином

розвинена

в

степеневий

ряд

Тейлора:

∞

f (z) = å cn (z − z0 )n ,

де

коєфіцієнти cn обчислюються

за

n =0

формулами :

f (n) (z0 )

cn =

1

ò

f (z)dz

=

, n = 0,1,2,3,L

L – коло,

2π i

L (z - z0 )n+1

n!

f (z)

що належить околу точки z = z0 ,

в якому функція

аналітична.

Мають місце формули розвинення в ряд Тейлора деяких

функцій:

∞

z

2

z

n

z

n

ez =1 + z +

+ K +

+ K = å

;

n!

2!

n=0

n!

z

2

z

4

z

2n

∞

z

2n

cos z =1-

+

-K+ (-1)n

+K = å(-1)n

;

(2n)!

(2n)!

2!

4!

n=0

z

3

z

5

z

2n+1

∞

z

2n+1

sin z = z -

+

-K+ (-1)n

+K = å(-1)n

;

(2n +1)!

(2n +1)!

3!

5!

n=0

z

2

+ K + (-1)n

z

n

¥

z

n

ln(1 + z) = z -

+1 ×

+ ... = å (-1)n+1

,

z

<1;

n

2

n

n=1

34

z

3

+ K + (-1)n+1

z

2n+1

¥

n

z

2n+1

arctgz = z -

+ ... = å(-1)

,

z

<1;

2n +

3

2n +1

n=0

1

α

=1

+ α z +

α (α -1)

z

2

+ K =

¥ α(α -1)(α - 2) ×K× (α - n + 1)

z

n

,

(1 + z)

2!

å

n!

n=0

1

z

<1;

¥

=1 - z + z 2 - K + (-1)n z n + K = å(-1)n zn ,

z

<1

1 + z

¥

n=0

1

=1+ z + z 2

+K+ z n +K = å z n ,

z

<1 .

1- z

n =0

Якщо

функція

f (z)

однозначна

і

аналітична

в кільці

r <

z - z0

< R

(

не виключаючи випадків,

коли r = 0 i

R = +∞ ), то

вона може бути єдиним чином розвинена в ряд Лорана в цьому кільці,

а саме

¥

¥

-1

f (z)= å cn (z - z0 )n

= å cn (z - z0 )n

+ å cn (z - z0 )n ,

n =-¥

n =0

n =-¥

де коефіцієнти cn

знаходяться за формулами

cn

=

1

f (z) dz

, (n = 0, ± 1, ± 2,K);

2π i Lò (z − z0 )n+1

де

L – довільний замкнений контур в середині круга аналітичності,

що містить точку z0

¥

Ряд

å cn (z - z0 )n

називається правильною частиною ряду

n =0

-1

(z - z0 )n – головною частиною ряду Лорана.

Лорана, а ряд

å cn

комплексної змінної. Нехай функція

f (z) аналітична

в точці z0 .

Точка z0

називається

нулем функції f (z) порядку

m , якщо

f (z0 )= 0,

f ′(z0 )= 0,...,

f (m-1)(z0) = 0,

f (m)(z0) ¹ 0 .

36

а)

res f (z0 )= C-1 – у скінченній точці z ¹ ¥ .

Тобто

лишок

функції

res f (z0 ) в скінченній ізольованій особливій

точці

z ¹ ¥

дорівнює коефіцієнту C−1 при мінус першій степені в розвиненні

даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

z = ∞ ,

б)

res f (¥) = - C-1 – у нескінченно віддаленій

точці

годинниковою стрілкою.

Мають місце формули для обчислення лишків:

а)

z0

– полюс першого порядку функції f (z):

res

f (z0 ) =

lim

[f (z)×(z - z0 )];

z ®z0

б)

z0

– полюс m-го порядку функції

f (z):

res f (z0) =

1

lim

dm-1

êé f (z)× (z - z0)múù

;

(m -1)!

z®z0 dzm-1 ë

û

в)

z0

– усувна особлива точка:

f (z0 )= 0 ;

res

г)

z0

– істотно особлива точка:

res f (z0 )= C-1.

Лишки застосовуються для обчислення контурних інтегралів.

Якщо

функція

f (z) аналітична в області

D та

її межі, за

винятком скінченої кількості ізольованих особливих точок

zk , k =1, n

,

які належать цій області, то

n

ò f (z)dz = 2πi åres f (zk ).

C

k =1

Якщо

функція

f (z) аналітична в комплексній площині за

винятком

скінченного

числа

n

ізольованих

особливих точок

( zk ¹ ¥ ),

то сума всіх лишків, включаючи лишок у

zk , k =1, n

нескінченно віддаленій точці, дорівнює нулю

n

res

f (¥)+ åres f (zk )= 0

37

f (¥)

n

f (zk ),

Звідси

res

= - åres

де zk ,

k =

-

особливі

точки

1, n

функції f (z).

k =1

Застосування лишків до обчислення визначених інтегралів.

Якщо

f (x)- раціональна функція,

тобто

f (x) =

Qm (x)

,

де

P (x)

та

Pn (x)

n

f (x)

Qm (x) -

многочлени відповідних степенів,

причому

n ³ m + 2 ,

а

неперервна на всій дійсній вісі ( Pn (x) ¹ 0 ), то

+¥

(x)dx =2πiσ ,