Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матанчик 4 идз

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

588 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

(z + 2)dz

7. a) z ò= 12 z(z −1)(z − 2),

3z2dz

8. a) z ò= 32 (z +1)(z − 2),

zdz

9. a) zò=3 (z2 +16)(z + 2),

10. a)

(z + 3)(z3 + z),

11. a)

=1 z2 +

z+i

12. a)

z(z − 4i)

z−3i

13. a)

ez dz

z2 + 4

z−i

14. a)

ezdz

(z −

4i)(z − i)

z−i

15. a)

5zdz

(z + 2)(z − i)

z−i

16. a)

ln zdz

z−i

=1 (z − 4i)(z − i)

17. a)

cos zdz ,

z−1

z2 − 4z

б)

sin(πz 4)dz

в)

сhzdz

z2 − 4

(z +1)3

б)

ln(z 2)dz

в)

cos zdz

3 (z − 2i)(z − i)

(z −1)3(z + 5)

z−2i

z−1

cosz + 3z

б)

cos zdz

в)

dz.

z2 + 2z

z+i

б)

в)

sin 3zdz

ò=2 z2 + z

=4 (z + 2)2(z − 8)

z−2i

б)

в)

3 z

+ z

=2 (z −1)3

z−2

z−i

= 2

(sin z + 1)dz ,

(ln z + 6)dz

б)

в)

z−2

=3 z2 − 4z

z+i

(z − i)3

б)

zdz

в)

chzdz

z−2−2i

=3 z

4 −16

(1− z)3

б)

z+3ò

(z3 − 4z)(z + 4)

sh(π z 2)dz

z2 + 1

sin(π (z −1))dz

z−1

=2 z2 − 2z + 2

ch zdz ,

z−1+i =2 z4 −1

в)

1 + sin z

dz .

z+i

в)

2πiz dz

+ 2i)3

в)

cos zdz

z+2i

=3 z4 + 4iz3

в)

ln zdz

z−3i

(z − 4i)2 (z − 6i)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

π z

ln zdz

sh 2

б)

18. a) ò

(z − 4i)(z − i)

z−i

=3 (z + 4i)(z + i)

z−3i

cos zdz

19. a)

eiz dz

б)

=3 z3

+ 4z

z2 − 3z +

z+2i

20. a)

cos zdz

б)

(z − 2i)(z − i)

z−3i

π z dz

sin

б)

21. a)

z2 −

z−1

б)

22. a)

(z − 2i)(z − i)

z−3i

23. a)

ez cos zdz,

б)

z2 + 2z

24. a)

ez dz

б)

3 z2

+ z

z−1

25. a)

б)

z3 + z

(sin z +1)dz

26. a)

б)

z2 − 4z

z−1

27. a)

zdz

б)

z−2i

=1 z4 −16

z−òi =2 z(z2 + 2),

zò=3 z2 + 4 ,

zdz

zò=4 (z − 3)(z − i) ,

zdz

zò=3 (z − 2)(z −1) ,

(z + 2)dz

z−ò1 =1 z(z −1)(z − 2) ,

3z2dz

zò=3 (z +1)(z − 2) ,

zdz

z−3òi =5 (z + 2)(z2 +16),

zdz

zò=2 z2 +1 ,

в)

сh2 zdz

zdz

z−2ò

(z − 3)3(z + 2)

1+ sin zdz .

z+2ò

(z + 5)dz

(z + 2)3(z − 3)

ò cos2 z dz.

z−2i =1 (z − 2i)3

shzdz zò=1 z3(z − 2i) .

ez dz

z ò=2 z4 + 4z3

(z +1)dz

z+ò2 =2 (z + 2)3(z − 3).

еiz dz

z ò=2 (z −1)3 .

ln zdz

z+òi =2 z3(z − 3i).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

28. a)

б)

zdz

в)

cos zdz

=1 (z3 - 4z)(z + 4)

=5 (z

- 4i)(z - i)

z+2i

=3 z3 - 5iz2

π z

ez dz

zdz

sh 2 dz

б)

ò=3

в)

z−ò3

(z - 4)3(z + 3)

29. a)

z2 + 4

z2 +1

z−i

30. a)

ln zdz

, б)

z−2òi

z2dz

, в)

shzdz

=1 (z - 4i)(z - i)

(z - 2)3

(z − 4i)(z − i)

z−3,5i

z−1

2.3.9 Знайти радіус збіжності степеневого ряду.

∞zn

1.nå=0 (1 + i)n

∞n(2 + i)z n

4.å

n=0 n2 + 4i

∞	æ	i ön
7. å	ç		÷	z n

n=0	è	2 + i ø

	∞	(3+2i)n zn
10.	åe	(3+2i)n zn
	n=0
	∞
13.	å(1 - i)2n z n

n=0

∞z n

16.nå=0 (3 + 4i)n

∞æ 3 +i ön

2.åç ÷ zn è 2 øn=0

	∞
5.	åein zn
	n=0
	∞ (1 + 2i)n
8.	å					z n
8.	å	n +1				z n
	n=0	n +1
	n=0
	∞		n z		n
11. å			n z
11. å		(		- i)n
	n=0	(	3	- i)n
	∞ (3i - 4)n
14. å							zn
14. å			n2				zn
	n=0		n2

∞iπ

17.åe 4 zn

n=0

	∞	æ	1 + 2ni ön
3.	å	ç			÷ zn

	n=0	è	n + 2i ø
		(1 + i)n
	∞
6.	å			z n
			n + i
	n=0

∞

9. åcos(in)zn

n=0

∞ zn

12. nå=0 (1 - i)2n

∞ (n + i)z n

15. nå=0 (3 + 4i)n

∞(2 + i)n

18.å n! zn

n=0

∞

2n + 3i

∞

2 + in

∞

19. å

z n

20. å

z n

21. å

1 - 6ni

3n - 2i

(n + i)× 2n

n=0

∞

(1 - i)

∞

(i +

)n zn

22. å

23. å

z n

24. å

n=0(3 +

2i)

n=0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞

(1+i)n zn

∞

25.

åe

26. å(2 + i)n zn

27.

− 3i)n

n=0

∞

28.

29. å

30. åe(i−2)n zn

cos(in)

sin(in)

n=0

n=1

n=0

2.3.10 Розвинути в ряд Лорана функцію

f (z)

по степенях z в

заданому кільці.

f (z) =

, 0

< 1.

z2 − z

f (z) =

, 1 <

< 2 .

z2 − z − 2

f (z)=

, 2

< ∞ .

z2 − 3z + 2

f (z) =

−1

, 1 <

< 2 .

z2 − 3z + 2

f (z)=

− 9

, 1

< 2.

z3 + 3z2 − 4

11.

f (z)=

1− z

, 0 <

< 1.

z2 + z

13.

f (z) =

2z +1

, 1 <

< 2 .

z2 + z −

f (z)=

2 − 5z

15.

, 1 <

< 2 .

z3 + z2 − 2z

17.

f (z)=

2z + 1

, 0 <

< 1.

z2 + z

19.

f (z) =

, 2 <

< 4 .

z2 − 2z − 8

21.

f (z) =

,1 <

< 2 .

(z −1)2 (z + 2)

2. f (z)=

z2 + 3z − 7

, 1 <

< 2 .

z3 − 3z2 + 4

f (z) =

, 0 <

< 2 .

z2 + 2z

f (z) =

, 2

< 3 .

z2 + 5z + 6

f (z) =

, 2 <

< ∞ .

z2 + 2z

10.

f (z) =

3z + 3

, 1 <

< 2.

+ z − 2

12.

f (z) =

2z + 1

, 2 <

< ∞.

+ z − 2

14.

f (z)=

, 1 <

< 2.

+ 3z + 2

16.

f (z) =

, 0

< 1 .

z3 + z2

18.

f (z)=

, 1

< 3 .

− 4z + 3

20.

f (z) =

, 2

< 4 .

+ 6z + 8

22.

f (z) =

, 0

< 2 .

− 2z

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

23.

f (z) =

, 0 <

< 1.

24.

f (z) =

, 1 <

< 2 .

z3 − z

− z − 2

25.

f (z) =

3z − 4

, 1 <

< 2 .

26.

f (z) =

, 4

< ∞ .

z3 − 3z2 + 2z

− 4z

27.

f (z) =

, 0 <

< 2 .

28.

f (z) =

, 0 <

< 1.

z3 − 4z

z3 − 3z2 + 2z

29.

f (z)=

+ z +1

, 0 <

< 1.

30.

f (z) =

, 0

< 3 .

− 9z

z3 + 2z2 + z

2.3.11 З′ясувати характер особливих точок функції f (z) і знайти лишки в цих точках.

f (z)=

sin z

z4 + 2z3 + z 2

f (z)=

z2 −1

z3 + z 2

f (z)=

ez −1

z 4 − z3

10.

f (z)=

cos z −1

z3 (z − 3)

13.

f (z)=

z 2

(z2 + 1)2

16.

f (z)=

z2 + z −1

z3 − z2

19.

f (z)=

4z3 − z5

22.

f (z)= (z − 1)2 sin

z −1

2. f (z)= z2 −1

z 4 − 3z3 + 2z

5.f (z)= (z −1)21(z 2 + 4)

8.f (z)= z 4 sin 1z

11.	f (z)=	1
		z 4 + z 2
14.	f (z)=	e z
		(z + 1)4
17.	f (z)=	1
		z 4 + z 2
20.	f (z)=	z 2 + 1
		(z + i)3

23.	f (z)=	1 − e z
		z3

f (z)= 1 − cos z

6. f (z)=

ch z

(1 − z 2 )(z + 1)

f (z)= z

3 cos

12.

f (z)=

eπ z

(z − i)2

f (z)=

cos z

15.

z 2 (z2 + 9)

18.

f (z)=

(z + 1)3 (z − 2)

21.

f (z)=

sin 2z

24.

f (z)=

z 6

(z −1)4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

25.

f (z)=

sin 2z

26.

f (z)=

2z5

27.

f (z)=

z(z + 1)3

sin z

(z − i)3

28.

f (z)=

29.

f (z)=

e z

30.

f (z)=

(z − 2)2 (z − 1)

z4 + 1

z 4 + z3

2.3.12 Обчислити інтеграли за допомогою лишків.

1.а)

2.а)

3.а)

4.а)

5.а)

6.а)

7.а)

8.а)

9.а)

z3dz

z ò=2 (z2 +1)2

zdz

z−ò1=3 (z + 2)2(z −1)

zdz

z−ò3 =3 (z − 4)3(z − 3)

ez dz

z ò=2 z4 + 2z3

z2dz

z−2òi =4 z2 + 25

cos zdz z+2òi =3 z4 + 4iz3

(z + 5)dz

z+ò2 =2 (z + 2)3(z − 3)

sin zdz

z+ò1=3 z4 + 2z3 + z2

e2zdz

z−ò1 =3 (z2 −1)2

б)

(z − 2i)3ch

−

z−2i

б)

(z + i)2 sin

z + i

б) ò(z +1)3e

z+1

1− cos

б)

e z +1

б)

(z − i)3 cos

z − i

б)

ò(z + 2)3e

z+2

б)

z3ch

z−i

1− sin 1

б)

в)	+∞	dx
	ò	dx
	ò	(x2 +1)3
	−∞	(x2 +1)3
в)	+∞		dx
	ò		dx
	ò	(x2 + 4x +13)2
	−∞	(x2 + 4x +13)2
в)	+∞		dx
	ò		dx
	ò	(x2 + 2x +17)2
	−∞	(x2 + 2x +17)2
в)	+∞		dx
	ò		dx
	ò	(x2 + 4)(x2 +16)2
	−∞	(x2 + 4)(x2 +16)2
в)	+∞		dx
	ò		dx
	ò	(x2 + 4)2 (x2 +1)
	−∞	(x2 + 4)2 (x2 +1)
в)	+∞		dx
	ò		dx
	ò	(x2 + 4x + 20)2
	−∞	(x2 + 4x + 20)2
в)	+∞	dx
	ò		.
	ò	1+ x4	.
	−∞	1+ x4
	+∞		dx
			dx
в) −ò∞		(x2 +1)(x2 + 9)
в)	+∞	dx
	ò	dx
	ò	(x2 + 2x + 5)2
	−∞	(x2 + 2x + 5)2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

10.а)

11.а)

12.а)

13.а)

14.а)

15.а)

16.а)

17.а)

18.а)

19.а)

20.а)

21.а)

(2z +1)dz

z+ò1=2 (z +1)3(z − 5)

1+ sin z

z−2ò

z4dz

(z − 3)3(z + 2)

sinπz

z2 − z

z−i

(z +1)3(z2 −16)

еiz dz

(z −1)3

z −2

sin 2zdz z+2òi =3 z4 + 4iz3

ez dz

z+ò1 =1 (z +1)4

(z + 2)dz z−ò2 =1 z(z − 3)2

(z2 +1)dz

z+i

(z + i)

ez −1

− z

1+ cos 3z

б)

(z − 2i)2 sin

z −

z−2i

б)

ò(z + 5i)e

(z+5i)2

z+4i

б)

(z −1)3 sin

−1

z−1

б) ò(z +1)e

z +1

(z + 4i)2 sh

б)

z +

z+4i

б)

(z − 2i)4 sin

z−2i

(z −

2i)

б)

z3sh

б)

(z + 2)3 cos

+ 2

z+1

б)

(z − 2)2 sin

− 2

z−2

б) ò(z − 2i)e

(z−2i)3

1− sin

б)

− 2

z − 2

z−2

ò(z + i)2e

б)

z+i

z+i =2

в)

+∞	dx
ò	dx
ò
−∞ (x2 + 4)3
+∞	dx
ò	dx
ò		+17)2
−∞ (x2 + 8x		+17)2
+∞	dx
ò	dx
ò		+ 5)2
−∞ (x2 + 4x		+ 5)2
+∞	dx
ò	dx
ò		(x2 +16)
−∞ (x2 + 9)2		(x2 +16)
+∞	dx
ò	dx
ò
−∞ (x2 + 9)3
+∞	dx
ò	dx
ò		+ 2)3
−∞ (x2 + 2x		+ 2)3
+∞	dx
ò	dx
ò
−∞ (x2 + 9)(x2 +1)2
+∞	dx
ò	dx
ò
−∞ (x2 +16)(x2 + 36)2
+∞	dx
ò	dx
ò
−∞ (x2 +12x + 37)2
+∞	dx
ò	dx
ò		+ 25)2
−∞ (x2 + 8x		+ 25)2
+∞	dx
ò	dx
ò		(x2 +16)
−∞ (x2 + 4)2		(x2 +16)

	+∞	dx
	ò

	−∞ (x2 +12x + 40)3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

22.а)

23.а)

24.а)

25.а)

26.а)

27.а)

28.а)

29.а)

30.а)

(ln z + 7)dz

z−2

(z − 3)

sin(z + 2)

+ 2z

z+2

cos2 z

z−2i

=1 (z − 2i)

cos z −1

(z − 3)

z+i

(z −1)2(z2 + 4)

еizdz

(z −1)4

z−1

1− cos z

+ 2z

z+2

z−2òi

(3 − z)dz

(z − i)3(z + 4)

zdz

(z2 +

б)

(z − 2)5 sin

z−2

(z − 2)

(z − 3i)2 cos

z −

z−3i

(z −i)3ch

z − i

z−i

(z + 3i)2 sh

z+3i

+ 3i

(z −1)2 sin

−1

z−1

1+ cos

z + i

z+i

z + i

ò(z + 2i)e(z+2i)2 dz z =3

ò		(z + i)3sh		1	dz
ò		(z + i)3sh	z + i		dz
z+i	=1


ò		(z −1)5 sin			1		dz
ò		(z −1)5 sin				2	dz
z−1	=2			(z −1)
				(z −1)

в)

+∞		dx
ò		dx
ò
−∞ (x2 + 25)3
+∞		dx
ò		dx
ò	(x2 +16)4
−∞	(x2 +16)4
+∞		dx
ò		dx
ò	(x2 +1)2 (x2 + 9)2
−∞	(x2 +1)2 (x2 + 9)2
+∞		dx
ò		dx
ò	(x2 +100)3
−∞	(x2 +100)3
+∞		dx
ò		dx
ò	(x2 + 6x +10)2
−∞	(x2 + 6x +10)2
+∞		dx
		dx
−∞ò	(x2 + 25)(x2 +16)
+∞		dx
ò		dx
ò	(x2 + 36)3
−∞	(x2 + 36)3
+∞		dx
ò		dx
ò	(x2 + 8x + 20)2
−∞	(x2 + 8x + 20)2
+∞		dx
		dx
−∞ò	(x2 + 9)(x2 + 25)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.ЕЛЕМЕНТИ ОПЕРАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ

3.1 Довідковий матеріал.

Оригіналом називається комплексна функція f (t) дійсної змінної t , що задовольняє умовам:

1)f (t) – однозначна, кусково-неперервна функція разом зі своїми похідними n -го порядку в інтервалі ( -¥; + ¥ );

2)f (t) = 0 при t < 0 ;

існують

такі числа

M > 0

s ³ 0 , що

для

всіх

t > 0

справедливо:

f (t)

≤ M e s t .

Число

для якого

умова

виконана

при

будь-якому

s = so + ε

(ε > 0)

і не виконується при s = so - ε ( so

– точна нижня

межа чисел

s )

називається

показником зростання функції

f (t) .

Функції,

які при

t → ∞ є обмеженими,

або задовольняють умові 3)

називаються функціями експоненціального типу.

Зображенням функції-оригіналу f (t) називається функція F( p ) комплексної змінної p = s + iσ , яка визначається інтегралом (перетворення Лапласа) Лапласа

F( p) == ò f (t) ×e- pt dt

Цей інтеграл залежить від параметра p . Операцію переходу від оригінала f (t) до зображення F(p) називають перетворенням Лапласа. Якщо функція f (t) – оригінал із показником зростання so , то її зображення F(p) визначено у комплексній півплощині

Re p > so . Співвідношення	між оригіналом f (t) і	зображенням
F(p) символічно записують:	f (t) ¬ F(p), f (t)¸ F(p)	і т.п. Оригінал

зображується малою літерою, а зображення – відповідною великою. Найпростішою функцією-оригіналом є одинична функція

Хевісайда:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

			60
ì0,	t < 0	.
σ (t) = í	t ³ 0	.
î1,	t ³ 0
Зауважимо, якщо для функції g(t) , що задовольняє умовам 1) і
3), не виконується умова 2), то для функції
f (t )= σ (t) × g (t )= íì0,			t < 0
		îg (t ),	t ³ 0

умова 2) виконується і ця функція є оригіналом. Надалі запис f (t) слід розуміти як f (t) ×σ (t) .

Властивості перетворення Лапласа.
Припускаємо, що функції			f (t) ,	є оригіналами.
1. Лінійність.	Якщо		fi (t)	← Fi (p), то для	будь-яких
				n
комплексних чисел	сi , і =	1, п	функція f (t) = åci fi (t)		також є

i=1

оригіналом і справедлива рівність:

f(t) ← åci Fi ( p) i=1

Теорема подібності. Якщо f (t) ← F(p), α R , α > 0 , то

f (α t)

æ p ö

і F(α t) →

t ö

←

F ç

f ç

÷ .

è α ø

α ø

Теорема зсуву.

Якщо

f (t) ← F(p)

і α –

будь-яке

комплексне число, то

eα t × f (t) ← F(p -α ),

тобто множенню оригіналу на eα t

відповідає зсув зображення на α .

Теорема запізнювання. Якщо f (t) ← F(p), τ R , τ > 0 , то

f (t −τ ) ← e-τ p × F(p),

тобто

запізнюванню

оригіналу

на τ > 0

відповідає

множення

зображення на e-τ p .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.11.201994 Кб14Макросы в Word.doc
#
01.07.2025820 Кб0мальта.docx
#
25.09.20192 Мб28Мартемьянов В.С. Хозяйственное право. Том 1.doc
#
07.02.2016172 Кб8Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125 Кб5Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161 Мб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016460 Кб8математика 1229.pdf
#
07.02.2016530 Кб7математика 1874.pdf
#
07.02.2016476 Кб9МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309 Кб16математика 3700.pdf