Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ
.pdf
51
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0, |
|
kx |
|
|||
k 1 |
|
|
|
|
n |
P |
|
0, |
|
|
|
|
||
ky |
|
|||
k 1 |
|
|
|
|
n |
|
A |
k |
|
|
|
|
||
|
m |
|
P |
0. |
k 1 |
|
|
|
|
.
Оскільки осі координат x і y задані за умовою задачі, то складемо відповідні рівняння рівноваги
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
A |
R |
sin 0, |
|
|
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|||
Y |
|
|
G Q R cos 0, |
||||||
A |
|
||||||||
|
|
|
|
О |
|
||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
G |
cos R |
AO Q ABcos 0. |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо підставити значення відомих величин у ці рівняння рівноваги,
то отримаємо
X |
A |
0,5R 0, |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
||
YA 400 200 0,866Ro 0, |
||||||
|
||||||
400 2 0,866 3R |
|
|
|
|||
o |
200 4 0,866 0. |
|||||
|
|
|
|
|
||
З третього рівняння обчислимо реакцію
RО
:
R |
|
692,8 692,8 |
461,86 |
|
|||
О |
|
3 |
|
|
|
|
Н
,
і підставимо її значення у перші два рівняння. Будемо мати
X A 12 RО 230,93 Н ;
YA 400 200 0,866 461,86 160,04 Н .
Оскільки визначені дві складові реакції, які прикладені в точці A , –
52
X A |
та |
реакції
YA , то геометричним додаванням можна обчислити модуль повної RA . А саме:
R |
A |
|
X 2 |
Y 2 |
230,932 160,042 |
78941,5 |
280,97 H . |
||
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
Таким чином визначенні усі шукані реакції: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
RA 280,97 H ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
RО 461,86 H . |
|
|
|
||
Приклад |
|
|
|
|
|
|
|
||
Визначити |
реакції |
опори |
однорідної |
балки |
АВ |
прямокутного |
|||
перерізу, один кінець якої |
A жорстко закріплений у стіні і яка перебуває |
||||||||
під дією |
|
зосередженої |
сили |
P 4,0 kH , |
пари |
сил |
з моментом |
||
m 2,0 kH м |
та рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю |
||||||||
q 1,5 |
kH |
. Довжина балки |
|
м |
|||
|
|
АВ
–5
м
,
рівномірно розподілене
навантаження діє на ділянці 3
сили Р до горизонту складає
м від точки
=30о, осі x та
A y
. Кут нахилу зосередженої показані на рис. 1.24.
Рис. 1.24
53
Розв'язання
Складаємо розрахунково – силову схему. Покажемо всі сили, що
прикладені до балки |
АВ . Насамперед, це задані активні сили –сила |
P , що |
прикладена до кінця балки В і спрямована під кутом до горизонту. |
|
Рівномірно розподілене навантаження замінюємо зосередженою силою Q , |
|
яка дорівнює |
Q q AC 1,5 3 4,5 kH . |
Сила Q |
прикладена посередині ділянки AC і спрямована у той же |
бік, що і саме навантаження, тобто вертикально донизу. Покажемо на силовій схемі пару сил, яка визначається моментом m .
Далі умовно звільняємо балку від в'язі і замінюємо її відповідними
реакціями в'язі. У точці |
A - жорстке закріплення балки у стіні, а тому воно |
|
має дві складові реакції: |
X A , YA |
, які розташовані вздовж відповідних осей |
координат, і реактивний момент |
M A . Напрямок цього невідомого моменту |
|
показуємо на силовій схемі довільно, наприклад, – проти напрямку стрілки годинника. Якщо ж при остаточному визначенні моменту M A отримаємо від'ємний знак, то матимемо, що дійсний напрямок моменту – протилежний. Покажемо на силовій схемі лінійні і кутові розміри. Осі координат показані на схемі.
Як видно з побудованої розрахунково – силової схеми, балка перебуває під дією плоскої системи довільних сил. Використовуємо умови
рівноваги (1.54). А саме
n |
|
|
Pkx 0, |
|
|
k 1 |
|
|
n |
|
|
Pky 0, |
|
|
k 1 |
|
|
n |
|
|
mA |
Pk |
0. |
k 1 |
|
|
54
Складемо відповідні рівняння рівноваги
|
|
|
|
|
|
|
X |
A |
P cos 0, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
YA Q P sin 0, |
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
AC |
|
|
|
Q |
P sin AB M |
|
m 0. |
|||
|
A |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо підставити значення відомих величин у ці рівняння рівноваги,
то отримуємо
|
|
|
X A 4,0 |
3 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
YA 4,5 4,0 |
|
1 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4,5 |
3 |
4,0 |
|
1 |
5 |
M |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
2,0 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З першого рівняння обчислимо X A : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
X A |
4,0 |
3 |
2 |
3 3,46 kН . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З другого рівняння обчислимо YA : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
YA 4,5 4,0 |
1 |
6,50 |
kН . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З третього рівняння обчислимо M A : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
M |
|
2,0 4,5 |
3 |
4,0 |
1 |
5 2,0 6,75 10,0 18,75 kH . |
|||||||||||||||||
A |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оскільки складові реакцій |
|
|
X A |
та YA |
, |
що прикладені у точці |
|||||||||||||||||
обчислені, то можна знайти модуль RA повної реакції у точці A : |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
X 2 |
Y 2 |
|
|
3,46 2 6,5 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
R |
A |
|
|
|
|
|
54,22 7,36 kH. |
||||||||||||||||
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A
,
55
Таким чином, визначені всі шукані реакції:
RA 4,30 kH ;
M A
18,75
kH
.
Приклад |
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначити |
опорні |
реакції |
балки на яку діють зосереджена сила |
|||||
P 10кН |
під |
кутом |
45 |
|
до горизонту, |
рівномірно |
розподілене |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
навантаження |
з |
інтенсивністю |
q 0,6кН / м та |
пара сил |
з моментом |
|||
М 20 кН м |
(рис. 1.25). |
|
|
|
|
|||
Рис. 1.25
Розв'язання
Накреслимо розрахункову схему заданої балки (рис 1.26).
Для цього проводимо осі координат: вісь x направляємо вздовж
горизонтальної осі балки, а вісь y – через ліву крайню точку |
А балки. |
Прикладемо до горизонтальної осі балки у відповідних точках задані
|
|
|
|
|
|
активні |
|
навантаження. При цьому силу P , що спрямована під кутом |
|||
45 |
|
, |
розкладемо для зручності на дві складові вздовж координатних |
||
|
|
|
|
|
|
осей, які за модулем будуть дорівнювати:
Px Pcos 40 cos 45 10 0,707 7,07кН; Py P sin 40 sin 45 10 0,707 7,07кН.
56
|
|
|
|
Рис. 1.26 |
|
|
Рівномірно |
розподілене |
навантаження, що |
діє з інтенсивністю |
|||
q 0,6кН / |
м |
на |
ділянці |
балки |
довжиною |
l b c , замінемо |
зосередженою силою Q , яка прикладена по центру цієї ділянки і за |
||||||
величиною дорівнює |
|
|
|
|||
|
|
|
Q q l q b c 0,6 6 4 6 кН. |
|||
Сила |
Q |
спрямована |
у той |
же бік, що |
і саме розподілене |
|
навантаження, тобто вертикально донизу.
Покажемо також на розрахунковій схемі пару сил, яка визначається моментом М 20 кН м і прикладена в точці A балки.
Далі умовно звільнемо балку від в'язей і замінемо їх відповідними реакціями в'язей. У точці A розміщена нерухома шарнірна опора, вона має
дві складові реакції |
|
R |
Ax і RAy , які розташовані вздовж відповідних осей |
||
|
В – рухома шарнірна опора, яка має одну реакцію |
|
B , |
||
координат. У точці |
R |
||||
що напрямлена перпендикулярно до поверхні опори балки вздовж координатної осі y .
57
Як видно з побудованої розрахункової схеми, балка перебуває у рівновазі під дією плоскої системи довільних сил.
Для розв'язання цієї задачі використовуємо наступні аналітичні рівняння рівноваги
n |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
0, |
|
|
|
kx |
|
|
|
|||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
F |
|
|
|
|
m |
A |
0, |
|||
|
k |
|
|
|
||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
F |
|
0. |
|
|
m |
B |
|
|||
|
k |
|
|
|||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
Складемо відповідні рівняння рівноваги
R |
Ax |
P |
0, |
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
|
|
|
|
|
b c |
P |
||
B |
a b Q a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
|
a b P |
|
|
|
|
b |
|||
Ay |
b Q b |
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язавши отриману систему рівнянь,
З першого рівняння системи визначимо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a M 0, |
|
||
|
|||
|
|
|
|
c |
M |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0. |
|
|
|
||
знаходимо невідомі реакції.
RAx :
R |
Ax |
P |
|
x |
З другого рівняння визначимо
7 RB
,07
:
кН
.
|
|
|
|
b c |
P |
a M |
|
|
6 4 |
|
7,07 |
4 |
20 |
|
|
|
|
Q a |
|
|
6 4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
4,57 кН . |
||||||
B |
|
a b |
|
|
4 6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
З третього рівняння визначимо RAy :
58
|
|
b c |
|
|
|
|
6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
Q b |
|
|
Py b M |
6 6 |
|
|
7,07 |
6 |
20 |
|
||
|
|
2 |
|
||||||||||
RAy |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5,64 кH |
|||
|
|
|
|
|
|
4 6 |
|
|
|||||
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|||||
Знак мінус вказує на те, що дійсний напрямок складової реакції |
R |
||||||||||||
буде протилежним, ніж це показано на розрахунковій схемі.
Виконуємо перевірку проведених розрахунків.
Скористаємось тим, що алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь також повинна дорівнювати нулю:
.
Ay
y
n
Fky 0 . k 1
Склавши це додаткове рівняння рівноваги і підставивши в нього задані і знайдені значення, отримаємо:
R |
Ay |
P |
|
y |
Q RB
5,64 7,07 6
4,57
11,64 11,64
0
.
та
R
Повна реакція RA у точці A може бути визначена через складові RAx Ay . Вона буде розташована у четвартій чверті і за модулем дорівнює
RA 
RAx2
Таким чином,
RAy2
R |
A |
|
|
|
7,07 2 5,64 2 
81,79 9,04 кН.
9,04 кH , RВ 4,57 кH .
§ 3.4. Розв’язання задач на рівновагу системи тіл. Статично означені та статично неозначені задачі.
Система тіл – це сукупність декількох тіл, які спираються одне на одне або з'єднані шарнірами з можливістю відносного руху цих тіл.
При розв'язанні задач на систему тіл розрізняють сили зовнішні та
59
внутрішні.
Зовнішні сили – це сили взаємодії тіл даної системи з іншими тілами,
які не входять до складу системи.
Внутрішні сили – це сили взаємодії між окремими тілами, які входять до складу даної системи. Внутрішні сили існують попарно, як дія і протидія.
При цьому задача на визначення невідомих сил вважається статично означеною, якщо для неї можна скласти таку кількість рівнянь рівноваги матеріальної системи, яка не менша, ніж число невідомих.
Якщо число рівнянь рівноваги системи менше, ніж число невідомих,
задача буде статично неозначеною.
У теоретичній механіці будемо розглядаються тільки статично означені матеріальні системи.
Рівновагу системи тіл можна розглядати в цілому під дією тільки зовнішніх сил. Але може так статись, що кількість рівнянь рівноваги буде меншою, ніж кількість невідомих і задача буде статично неозначеною.
Тоді необхідно розглядати рівновагу окремих тіл системи, умовно розділяючи її обов'язково по внутрішніх в'язях. Причому необхідно враховувати, що внутрішні сили реакцій входять попарно, як дія та протидія.
Розглянемо приклад розв'язання задач на рівновагу системи тіл.
Приклад |
|
|
На трьохшарнірну арку |
А В С |
(рис. 1.27) діє вертикальна сила |
Р 10 kH . Вага кожної частини балки |
Q1 Q2 6 kH . Визначити реакції |
|
шарнірів |
А, В,С |
арки, розміри якої дані на рисунку. |
60
Рис. 1.27
Розв'язання |
|
|
Покажемо осі прямокутної декартової системи координат |
Ax y . Як |
|
видно зі схеми, задана система тіл складається з двох піварок |
I |
та II , які |
з'єднані шарніром у точці С . Складемо розрахунково – силову схему, де
покажемо задані активні сили |
Q1 , |
Q2 , |
P та реакції в'язей: у точках |
A і |
|||||||||||
B (нерухомі шарнірні опори) – |
X A , YA |
і X B , Y B |
та у точці |
C |
(шарнірне |
||||||||||
з'єднання) – |
|
|
|
|
|
Ці |
невідомі |
реакції |
|
у |
точці |
С |
є |
||
XC , XC |
та YC ,YC . |
|
|||||||||||||
внутрішніми силами системи тіл, а тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
XC XC |
і YC YC . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Умовно розділяємо систему тіл на два окремих тіла по шарніру С . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
і Y |
|
|
|||||
Дію відкинутої частини замінюємо двома реакціями |
X |
C |
, |
які |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
дорівнюють |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
C |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YC YC .