5.3 Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функцияf(x)является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится неполным).

Приведем здесь несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.

1. Произведение четной функции на четную функцию есть функция четная.

2. Произведение нечетной функции на нечетную функцию есть функция четная.

3. Произведение четной функции на нечетную функцию есть функция нечетная.

4. Если f(x)- четная функция, то.

5. Если f(x)- нечетная функция, то

Используя указанные свойства, вычислим коэффициенты Фурье и построим ряды Фурье для четной и нечетной функций.

Если функция f(x)четная, то коэффициенты Фурье приобретают вид:

Ряд Фурье для четной функции: .

Если функция f(x)нечетная, то коэффициенты Фурье приобретают вид:

Ряд Фурье для нечетной функции: .

Такие неполные тригонометрические ряды часто называют рядами по косинусам или рядами по синусам, а разложения функций разложение по синусам или разложение по косинусам.

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию периода 2π, заданную на интервале формулой.

Функция нечетная. Следовательно . Находим коэффициенты:

,

т.е. . Ряд Фурье содержит только синусы:

При этом

5.4 Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом отличным от 2π.

Пусть функция f(x), определенная на отрезке, имеет период 2l и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку , данную функциюf(x)преобразуем в функцию, которая определена на отрезкеи имеет периодТ=2π.

Действительно, если t=-π, тоx=-l, еслиt=π, тоx=lи приимеем;

, т.е. .

Разложение функции в ряд Фурье на отрезкеимеет вид

,

где

Возвращаясь к исходной переменной хи учитывая , что,, получим

Полученный ряд называется рядом Фурье для функции f(x)с периодомТ=2l.

Правила разложения четных и нечетных функций и здесь остаются в силе. Если функция f(x)на отрезкечетная, то ее ряд Фурье имеет вид, где; если функцияf(x)– нечетная, то

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке уравнением.

Решение. Разложение в ряд Фурье необходимо выполнить только на интервале изменения аргумента , поэтому функцию можно представить периодической с периодом равным 2 (см. рис 34).

Рис. 34 График функции в заданном интервале изменения аргументас периодическим продолжением на оси

Заданная функция является четной, определенной в интервале (l=1), поэтому коэффициенты ряда Фурье равны

В итоге получаем искомый ряд Фурье

.

5.5 Представление непериодической функции рядом Фурье

Пусть f(x)- непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то, очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье.

Однако непериодическая функция f(x)может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке, на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого можно поместить начало координат в середину отрезкаи построить функциюf₁(x) периодатакую, чтоf₁(x)=f(x) при.

Разлагаем функцию f₁(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка(кроме точек разрыва) совпадает с заданной функциейf(x). Вне этого промежутка сумма ряда иf(x)являются совершенно различными функциями.

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить (доопределить) по какому-либо закону функцию на интервал, а затем продолжить ее на всю числовую прямую периодически с периодом2l. Продолжить функцию из интервалана интервалможно произвольным образом.

Чаще всего продолжают четным или нечетным образом. Если функция продолжается четным образом (т.е. чтобы при былоf(x)= f(-x)), то ряд Фурье содержит только косинусы и свободный член. Если же функция продолжается нечетным образом, то ряд Фурье содержит только синусы.

Ряд косинусов и ряд синусов для функции f(x), заданной на отрезке , имеют одну и ту же сумму. Еслих₀-точка разрыва функции f(x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу: .

Замечание. Все выше сказанное справедливо для функции f(x), заданной на отрезке . Такую функцию можно разложить как в ряд косинусов, так и вряд синусов.

Пример. Разложить в ряд косинусов функцию,.

Решение. Продолжим функцию f(x)на отрезокчетным образом.

Разлагаем в ряд функцию с периодомТ=2π.

Функция f₁(x)удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому

Таким образом ,

где .

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие процессы называются периодическими? Привести пример периодических процессов.

2. Простейший периодический процесс. Функция простейшего периодического процесса.

3. Тригонометрический ряд Фурье.

4. Теорема Дирихле.

5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

6. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

7. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке .

Литература: [5] стр. 328-343, [6] стр. 478-489, [7] стр. 400-410.

Примеры : [2] стр. 106-112, [3] стр. 190-235.