1.6 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть в замкнутой областиV пространства Oxyz задана непрерывная функция u=f(x,y,z). Под областью V (рис. 13) понимается замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями, определенными соответственно уравнениями и (), а с боков цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Оz. В частном случае может оказаться, что образующие цилиндрической поверхности равны нулю (рис. 14).

Рис. 13

Переменные x и y изменяются в плоской области D, которая является проекцией на плоскость xOy пространственной области V.

Т

Рис. 14

ройной интеграл от функцииu=f(x,y,z) записывается так

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Если плоская область D ограничена линиями и () и прямыми х=а и х=b (рис. 15), то тройной интеграл вычисляется по формуле

(1.6.1)

П

Рис. 15

ри вычислении внутреннего интеграласледует рассматривать переменныеx и y как постоянные, единственной переменной величиной при этом является z.

Замечание:

1) порядок интегрирования в формуле (1.6.1) может быть изменен;

2) пределы интегрирования во внешнем интеграле всегда величины постоянные.

Пример.

Вычислить интеграл , областьV ограничена линиями .

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 16) и расставим пределы интегрирования.

Вычисление начнем с внутреннего интеграла

Рис. 16

1. 

2. 

3. 

1.7 Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответствующей операции для двойного интеграла.

Пусть совершена подстановка . Если эти функции имеют в некоторой областиV* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель , то справедлива

формула замены переменных в тройном интеграле:

Здесь - определитель Якоби, или якобиан преобразования.

Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.

Рассмотрим эти преобразования подробнее.

Цилиндрическая система координат.

z

М

z

0

φ x

r

Рис. 17

y

Положение точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz можно определить заданием трех чисел r, φ, z, где r - длина радиус вектора проекции точки М на плоскость Оxy, φ - угол, образованный этим радиус-вектором с осью Оx, - аппликата точки М. Эти три числа (r; φ; z) называются цилиндрическими координатами точки М (рис. 17).

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем якобиан:

Формула перехода тройного интеграла из декартовых координат к цилиндрическим принимает вид

, где

К цилиндрическим координатам бывает удобно прейти, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью, проекция цилиндрического тела на плоскость Oху является окружность, а также если подынтегральная функция имеет вид .

Пример: Вычислить , где область V ограничена верхней частью конуса и плоскостью.

Рис. 18

Рис. 19

Решение: Сделаем схематический чертеж области (рис. 18). Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: . Уравнение конуса примет вид, т.е.

Уравнение окружности (границы областиD (рис. 19)) запишется так: . Новые переменные изменяются в следующих пределах:r – от 0 до 1, φ – от 0 до 2π, а z – от r до 1 (прямая параллельная оси Оz , пересекающая область D, входит в конус и выходит из него на высотеz=1).

Таким образом, получаем

Сферическая система координат.

Сферическими координатами точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz называется тройка чисел ρ, φ, θ, где ρ - длина радиус-вектора проекции точки М, φ - угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскостьОxy и осью Ох, θ – угол отклонения радиуса- вектора от осиОz (рис. 20).

z

М



θ

0 φ x

Рис. 20

y

Связь координат произвольной точки М пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

()

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам.

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем якобиан:

Окончательно получаем:

, где

, ,,.

Замечание: переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования V есть шар (уравнение его границы в сферических координатах имеет вид) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид.

Пример: найти объем шара (рис. 21)

Решение: найдем 1/8 объема (часть шара, расположенную в первом октанте). Переходим в сферическую систему координат. Уравнение шара в сферической системе координат – ρ=R.

Вычисляем три интеграла:

, ,.

. Окончательно, объем шара куб.ед.