2.1.1. Побудова точкових оцінок параметрів розподілу

Точковою оцінкою невідомого параметру називають функцію від вибіркових значень випадкової величини, реалізація якої приймається за невідоме значення параметру. Для того, щоб оцінкуможна було використовувати замість невідомого параметру, вона має бути спроможною, незміщеною та ефективною.

Спроможною і незміщеною оцінкою математичного сподівання випадкової величини є середнє арифметичне:

. (2.1)

За спроможну і незміщену оцінку дисперсії випадкової величини беруть виправлену вибіркову дисперсію:

. (2.2)

Точковими оцінками параметрів інормального розподілу є

; . 2.3)

Для показового розподілу точкова оцінка параметру визначається так:

. (2.4)

За точкові оцінки параметрів a і b рівномірного розподілу беруть такі величини:

. (2.5)

2.1.2. Інтервальне оцінювання параметрів розподілу

Під інтервальною оцінкою розуміють інтервал, який називають довірчим, межи якого залежать від вибіркових значень випадкової величини і який із заданою ймовірністю містить істинне значення оцінюваного параметру.

Довірчий інтервал для математичного сподівання випадкової величини, що має нормальний розподіл, при заданій довірчій ймовірності визначається відповідно до виразу:

, (2.6)

де –оцінка математичного сподівання випадкової величини,визначеназа формулою (2.1);–критична точкарозподілу Ст'юдента,визначаєтьсязатаблицямидля числаступенів свободиі рівня значущості .

Довірчий інтервал для дисперсії випадкової величини, що має нормальний розподіл, має вигляд:

, (2.7)

де – оцінка дисперсії випадкової величини , визначена за формулою (2.2); – критичні точки розподілу Пірсона, значення яких визначається за таблицею за числом ступенів свободи, а також за рівнем значущостідляі для.

Довірчий інтервал для параметра показникового розподілу має вигляд:

,

де – критичні точки розподілу Пірсона, значення яких визначається за таблицею за числом ступенів свободи, а також за рівнем значущостідляідля,– оцінка математичного сподівання випадкової величини, визначена за формулою (2.1).

Якщо генеральна сукупність має рівномірний розподіл на інтервалі , то довірчий інтервал для параметрамає вигляд:

,

де – максимальний елемент варіаційного ряду.

2.2. Контрольний приклад

Проводитимемо параметричне оцінювання випадкової величини, заданої табл. 1.2.

Вважаючи закон розподілу випадкової величини нормальним, знайдемо точкові оцінки його параметрів:

– математичного сподівання:

;

– середнє квадратичне відхилення:

.

На рис 2.1 і рис 2.2 зображені графіки теоретичної щільності та функції нормального закону розподілу .

Рисунок 2.1– Гістограма відносних частот та щільність розподілу

Рисунок 2.2 – Емпірична та теоретична (пунктир) функції розподілу

Побудуємо довірчі інтервали для математичного сподівання та дисперсії випадкової величини, що досліджується. Для цього задамо довірчу ймовірність . Тоді рівень значущості. Оскільки вибірка має 40 елементів (), то число ступенів свободи становитиме. Знайдемо значення критичної точки розподілу Ст'юдента:. Тоді довірчий інтервал для математичного сподівання матиме вигляд:

або

.

Довірчий інтервал для дисперсії обчислимо за формулою (2.7). Для цього знайдемо критичні точки розподілу :і. Тоді довірчий інтервал для дисперсії матиме вигляд:

або .