Теорія_ймовірностей
.pdf101
Таблиця 3.3 - Закон розподілу випадкової величини X
|
X |
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
P(xi ) |
0,55 |
|
|
0,45 |
|
|
Контроль обчислень: 0,55+0,45=1. |
|
|
|
|
|
||
Склавши ймовірність у рядках, отримаємо ймовірність можливих значень Y : |
|||||||
P( y1 ) 0,1+0,15=0,25; P( y2 ) 0,25+0,2=0,45; |
P( y3 ) 0,2+0,1=0,3. |
||||||
Таблиця 3.4 - Закон розподілу випадкової величини Y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
y1 |
|
y2 |
|
y3 |
|
|
P( yi ) |
0,25 |
0,45 |
|
0.3 |
|
|
Контроль обчислень: 0,25+0,45+0,3=1.
Контрольні питання
1.Що називають законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величини?
2.Опишіть таблицю, яка задає закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини.
Задача: Заданий закон розподілу дискретної двовимірної величини X , Y .
Y |
|
X |
|
|
x1 |
|
x2 |
y1 |
0,2 |
|
0,15 |
y2 |
0,35 |
|
0,3 |
Визначити закони розподілу випадкових величин X та Y .
3.3 Функція розподілу двовимірної випадкової величини
Як наголошувалося раніше, функція розподілу одновимірної випадкової величини – універсальний закон розподілу ймовірностей як дискретної, так і неперервної випадкової величини. Те ж справедливо для двовимірної випадкової величини.
102
Функцією розподілу двовимірної випадкової величини X ,Y називають
функцію F (x, y) , що визначає для кожної пари чисел (x, y) ймовірність того, що
X набуде значення менше x , і при цьому Y набуде значення, менше y : |
|
|
F(x, y) P(X x, Y y) . |
Геометрично це можна тлумачити так: |
|
F (x, y) |
- ймовірність того, що випадкова точка |
X ,Y |
потрапляє до нескінченного квадранта з |
вершиною (x, y) , вказаною на рисунку 3.1. Чим більше заштрихована область, тим більше значення функції розподілу.
Рисунок 3.1 – Геометричне тлумачення для функції розподілу F(x, y)
Звизначення функції розподілу F(x, y) випливають такі її властивості:
1.Значення функції розподілу належать відрізку[0;1] , тобто 0 F (x, y) 1.
2.Функція F (x, y) - неспадна за кожним з аргументів; дійсно, якщо точка
(x, y) на рисунку 3.1 рухається паралельно осі Ox зліва направо, то
заштрихована область не зменшується. Те ж саме і при русі точки (x, y)
уздовж осі Oy від низу до верху.
3. Мають місце |
граничні |
співвідношення: F ( , y) 0 , F (x, ) 0 , |
F ( , ) 0 (площа |
заштрихованого квадранта дорівнює нулю на |
|
рисунку 3.1); |
F ( , ) 1 (попадання випадкової точки на площину |
|
xOy - достовірна подія).
4.При y функція розподілу системи стає функцією розподілу
складової X : F (x, ) F1 (x) ; при x F ( , y) F2 ( y) .
За допомогою функції розподілу можна визначити ймовірність попадання випадкової точки x; y в заданий прямокутник. Нехай потрібно визначити
103
ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник ABCD , координати
вершин якого показані на рисунку 3.2.
Шукана ймовірність визначається формулою:
P(x1 X x2 , y1 Y y2 ) (F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ))
(F(x2 , y1) F(x1, y1)) .
Рисунок 3.2 – Ймовірність попадання до квадрата ABCD
Контрольні питання
1.Що називається функцією розподілу двовимірної випадкової величини, як її тлумачити геометрично?
2.Якими властивостями володіє функція розподілу двовимірної випадкової величини?
3.Як визначити ймовірність попадання випадкової точки x; y в заданий прямокутник?
3.4 Щільність сумісного розподілу ймовірностей неперервної двовимірної
випадкової величини, її застосування і властивості
Щільністю сумісного розподілу ймовірностей |
f (x, y) двовимірної |
неперервної випадкової величини ( X ,Y ) називають другу змішану часткову
похідну від функції розподілу:
f (x, y) 2 F (x, y) .x y
104
Геометрично цю функцію можна тлумачити як рівняння поверхні, яку називають
поверхнею розподілу.
Якщо відома щільність сумісного розподілу f (x, y) , то можна знайти функцію
розподілу F (x, y) за формулою:
y x
F (x, y) f (u, v)dudv ,
що зрозуміло з визначення щільності розподілу.
З а с т о с ув а н н я д в о в и м і р н о ї щ і л ь н о с т і р о з п о д і л у
Вище ми розглянули, як за допомогою функції розподілу можна визначити
ймовірність попадання випадкової точки в заданий прямокутник.
Щільність розподілу дозволяє визначити ймовірність попадання випадкової точки в довільну область D на площині xOy . Указана ймовірність визначається подвійним інтегралом від щільності розподілу по області D :
P((X ,Y ) D) f (x, y)dxdy .
D
Якщо відома щільність сумісного розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин, то можна визначити щільність розподілу кожної зі складових за формулами:
|
|
f1 (x) f (x, y)dy , |
f2 ( y) f (x, y)dx . |
|
|
В л а с т и в о с т і д в о в и м і р н о ї щ і л ь н о с т і р о з п о д і л у
1)Двовимірна щільність ймовірностей величина невід'ємна: f (x, y) 0 . Ця властивість випливає з того, що функція розподілу F (x, y) - неспадна функція своїх аргументів.
2)Подвійний невласний інтеграл з нескінченними межами від двовимірної
щільності дорівнює одиниці: f (x, y)dxdy 1. Межі інтегруванні
105
показують, що область інтегрування – вся площина xOy . Попадання випадкової точки на площину – подія достовірна, її ймовірність дорівнює одиниці.
Контрольні питання
1.Що називається щільністю розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини?
2.Для чого застосовується і які властивості має двовимірна щільність розподілу?
3.5 Умовні закони розподілу складових системи дискретних і неперервних випадкових величин
У параграфі 1.5 розглянуті ймовірностей добутку залежних і незалежних подій.
Випадкові величини також можуть бути залежними або незалежними одна від одної. Для залежних подій
P( A B) P( A) P(B A) ,
звідки, умовна ймовірність події B , за умови, що подія |
A вже відбулася, |
||
обчислюється так: |
|
||
P(B |
|
A) P( AB) / P( A). |
(*) |
|
|||
Для незалежних подій P( A B) P( A) P(B) . |
|
||
Щоб охарактеризувати залежність між складовими двовимірної випадкової
величини, введено поняття умовного розподілу.
Нехай задана двовимірна дискретна випадкова величина (див. параграф 3.2,
таблиця 3.1). Якщо, наприклад, величина Y набула значення Y y1, то величина
X при цьому |
набуває одне зі своїх можливих значень x1 , |
x2 , |
..., xn . |
|||
Позначимо умовну ймовірність того, що |
X |
набуде значення xi |
за умови, що |
|||
Y y1 через |
|
|
|
|
||
p(xi |
y1 ) . Ця ймовірність, |
в |
загальному випадку, не |
дорівнює |
||
безумовній ймовірностей p(xi ) . |
|
|
|
|
||
106
Взагалі, умовні ймовірності позначаються p(xi y j ) .
Умовним розподілом складової X , при Y y j , називають сукупність умовних ймовірностей p(x1 y j ) p(x2 y j ) p(xn y j ) , обчислених у припущенні, що подія
Y y j вже наступила. Аналогічно визначається умовний розподіл складової Y .
Умовний закон розподілу X , в припущенні, що подія Y y j вже відбулася,
може бути знайдений за формулою, що аналогічна формулі (*):
p(xi / y j ) |
p(xi , y j ) |
i 1, 2,...,n; |
j 1, 2,...,m . |
|
|
|
, |
(**) |
|||
|
|||||
|
p( y j ) |
|
|
|
|
Сума ймовірностей умовного розподілові дорівнює одиниці, також як і
безумовного.
У прикладі 1 з §3.2 за заданим таблицею 3.2 розподілу X ,Y обчислені розподіли складових. Знайдемо умовний закон розподілу складової X за умови,
що складова Y y1.
Розв’язання . Шуканий закон визначається сукупністю наступних умовних
ймовірностей:
p(x1 y1 ) , p(x2 y1) .
Використовуємо формулу (**), враховуючи, що p( y1 ) 0,25.
p(x / y ) |
|
p(x1, y1 ) |
|
|
0,1 |
|
0,4 |
|||
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
p( y1 ) |
|
0,25 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
p(x |
|
/ y ) |
p(x2 , y1 ) |
|
|
0,15 |
0,6 |
|||
2 |
|
|
||||||||
|
1 |
|
p( y1 ) |
|
0,25 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Контроль обчислень: 0,4+0,6=1.
Для порівняння, (див. приклад 1 в §3.2), P(x1 ) 0,55; P(x2 ) 0,45.
Умовний закон розподілу неперервної випадкової величини можна задавати як функцією розподілу, так і щільністю.
Для системи двох випадкових величин ( X ,Y ) справедлива теорема множення законів розподілу, яка аналогічна теоремі множення ймовірностей подій.
107
Теорема. Щільність розподілу системи двох випадкових величин дорівнює щільності розподілу однієї з величин, помноженою на умовну щільність розподілу іншої величини, обчисленої за умови, що перша величина набула заданого значення:
f (x, y) f1 (x) f ( y x) ,
або f (x, y) f2 ( y) f (x y) .
З приведених формул теореми виразимо умовні закони розподілу через
безумовні закони розподілу:
f (x / y) |
f (x, y) |
, |
f ( y / x) |
f (x, y) |
. |
|
|
||||
|
f2 ( y) |
|
|
f1 (x) |
|
Формули обчислення безумовних законів розподілу |
f1 (x) і f2 ( y) приведені в |
||||
§3.4. |
|
|
|
|
|
Контрольні питання
1.Що називається умовним розподілом однієї складової двовимірної дискретної випадкової величини?
2.Сформулюйте теорему множення законів розподілу.
3.Як обчислюються безумовні і умовні закони розподілу складових неперервної двовимірної випадкової величини?
Задача
Використовуючи закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини із завдання до параграфа 3.2, знайти умовні закони розподілу складових.
3.6 Залежні і незалежні випадкові величини
Складові двовимірної випадкової величини X ,Y можуть більш чи менш сильно залежати одна від одної. Але ця залежність не є функціональною, тобто,
якщо відомо, яке значення набула одна випадкова величина, то не можна точно вказати, яке значення при цьому набуде інша випадкова величина. Найчастіше,
можна лише прослідкувати тенденцію зміни однієї величини при зміні іншої
108
випадкової величини. Можливо, що випадкові величини взагалі не залежать один від одного.
Випадкові величини X і Y називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, яке значення набула інша випадкова величина.
Інакше величини X і Y називаються залежними. |
|
Для незалежних дискретних випадкових величин |
|
p(xi , y j ) p(xi ) p( y j ) , i 1, 2,...,n; |
j 1, 2,...,m . |
Для незалежних неперервних випадкових величин |
X , Y теорема множення |
законів розподілу набуває вигляд: |
|
f (x, y) f1(x) f2 ( y) , |
|
тобто щільність розподілу системи незалежних випадкових величин дорівнює добутку щільності розподілу окремих величин, що входять до системи.
Якщо закон розподілу системи відомий, і якщо щільність розподілу f (x, y)
може бути записана добутком двох функцій, кожна з яких залежить тільки від одного аргументу, то можна стверджувати, що величини X і Y - незалежні.
Таким чином, умова f (x, y) f1 (x) f2 ( y) - необхідна і достатня для незалежності випадкових величин X і Y .
Контрольні питання
1. У яких випадках випадкові величини X і Y називаються незалежними, а
в яких називаються залежними?
2.Запишіть необхідну і достатню умову для незалежності випадкових величин X і Y .
3.7 Числові характеристики системи двох випадкових величин
Також як для однієї випадкової величини, для системи двох випадкових величин найважливішими числовими характеристиками є математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення кожної складової X і Y
системи випадкових величин X ,Y .
109
Математичні сподівання M ( X ) і M (Y ) в сукупності є характеристика положення системи. Геометрично це координати точки на площині, навколо якої відбувається розсіювання точок X ,Y .
Математичні сподівання обчислюються за формулами:
- для дискретних випадкових величин
n m |
m n |
M ( X ) xi p(xi , y j ) , |
M (Y ) y j p(xi , y j ) ; |
i 1 j 1 |
j 1 i 1 |
-для неперервних випадкових величин
|
|
|
|
|
|
M ( X ) |
|
x f (x, y)dxdy , |
M (Y ) |
|
y f (x, y)dxdy . |
|
|
|
|
||
Дисперсії випадкових величин D( X ) |
і D(Y ) |
характеризують міру |
|||
розсіювання значень двовимірної випадкової величини у напрямі осей Ox і Oy .
Дисперсія складових величин обчислюється за формулами:
-для дискретних випадкових величин
n m
D( X ) (xi mx )2 p(xi , y j ) ,
i 1 j 1
m n
D(Y ) ( y j my )2 p(xi , y j ) ;
j 1 i 1
-для неперервних випадкових величин
D( X ) (x mx )2 f (x, y)dxdy ,
D(Y ) ( y my )2 f (x, y)dxdy .
|
|
У наведених формулах mx M ( X ), |
my M (Y ) . |
Середні квадратичні відхилення випадкових величин x ( X ) 
D( X ) ,
y (Y ) 
D(Y ) .
Для системи випадкових величин X ,Y особливе значення має математичне сподівання добутку центрованих випадкових величин, що входять до системи, та
110
звуться кореляційним моментом випадкових величин X і Y . Кореляційний момент позначається
K xy M ((X mx ) (Y my )).
Для дискретних випадкових величин кореляційний момент обчислюється за формулою:
m n |
|
K xy (xi mx )(y j my ) p(xi , y j ) |
|
j 1 i 1 |
. |
|
Для неперервних випадкових величин кореляційний момент обчислюється за
формулою:
|
|
K xy |
(x mx )(y my ) f (x, y)dxdy . |
|
|
Кореляційний момент окрім того, що характеризує розсіювання випадкової двовимірної величини, характеризує також зв'язок між її складовими X і Y .
Щоб переконається в останньому, обчислимо кореляційний момент для незалежних випадкових величин X іY , що входять в систему X ,Y . Як було зазначено вище, для незалежних неперервних випадкових величин теорема
множення законів розподілу набуває вигляду f (x, y) |
f1 (x) f2 ( y) . |
|
Тоді |
|
|
|
|
|
K xy |
(x mx )(y my ) f (x, y)dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
(x mx ) f1 (x)dx ( y my ) f2 ( y)dy (mx mx )(my my ) 0 .
Кореляційний момент незалежних випадкових величин дорівнює нулю. Отже,
якщо K xy 0 , то існує залежність між випадковими величинами X і Y .
Щоб в характеристиці зв'язку між випадковими величинами X і Y не була
присутня характеристика розсіювання, від кореляційного моменту переходять до
безрозмірної характеристики rxy |
K xy |
. |
|
x y |
|||
|
|