Теорія_ймовірностей
.pdf
81
Рисунок 2.12 – До завдання 6
7. Задана |
|
|
0, |
якщо x 0; |
|
|
(1 cos x), якщо |
0 x ; |
F (x) 0,5 |
||
0, |
якщо x . |
|
|
|
|
Знайти M(X), D(X), Мо, Me.
8. Закон розподілу ймовірностей зображений на рисунку 2.13.
Рисунок 2.13 – До завдання 8
Знайти M(X), D(X), Мо, Me.
9.Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу f (x) .
Потрібно:
1)визначити коефіцієнт c ;
2)знайти функцію розподілу F (x) ;
3)побудувати графіки f (x) і F (x) ;
4)обчислити математичне сподівання і дисперсію;
5)знайти ймовірність того, що випадкова величина X набуває значення з інтервалу ( , ) .
82
|
|
|
якщо x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
; 0, |
|
; |
|||
9а. f (x) c cos x, якщо |
|
2 |
2 |
6 |
|||||||||||
|
|
|
якщо x . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0, якщо x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9б. |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c x, якщо 0 x 6; 1, 3; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
0, якщо x 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
якщо x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9в. |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
; |
|
|
||
c sin x, якщо 0 x ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
якщо x . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0, |
якщо x 0; |
|
|
|
|||||
10. Задано |
|
F (x) 1 e x , |
якщо x 0. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти Аs; Es. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді: |
|
|
|||
1а. M (X ) 3,6; |
|
D( X ) 1,64; |
|
(X ) 1,281. |
|
||||||||||
1б. M ( X ) 5,8; |
|
D(X ) 9,76; |
|
(X ) 3,124. |
|
||||||||||
1в. M ( X ) 5,2; |
|
D(X ) 8,96; |
|
(X ) 2,993. |
|||||||||||
2. |
M ( X ) 7; |
D(X ) 5,833; |
(X ) 2,415. |
|
|||||||||||
3. |
M (X ) 2,4; |
|
D(X ) 0,96; |
|
(X ) 0,9797. |
||||||||||
4. |
M (X ) 2,2; |
D(X ) 0,56; |
(X ) 0,7483. |
||||||||||||
5а. M (X ) 9; |
|
D(X ) 0,9; |
( X ) 0,949. |
|
|
||||||||||
5б. M (X ) 16; |
|
D(X ) 3,2; |
(X ) 1,789. |
|
|
||||||||||
6.1,8; 165,76.
7.р/2; (р2 – 4)/4; р/2; р/2.
8.8/3; 
26 /3; 
24 - 2; 4.
9а. c |
|
1 |
, |
M X 0, |
D X |
2 |
2, |
P x |
1 |
. |
|||||
2 |
4 |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9б. c |
1 |
|
, |
M X 4, |
D X 2, |
P x |
2 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
18 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|||||
83
9в. c |
1 |
, |
M X |
|
, |
D X |
2 |
2, |
P x |
1 |
. |
10. 2; 6. |
|
2 |
2 |
4 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6 Деякі закони розподілу неперервних випадкових величин
Багато типів реально існуючих випадкових величин вивчено, тобто теоретично встановлений і експериментально перевірений їх закон розподілу. При вивченні нової випадкової величини можна перевірити, чи не належить ії закон розподілу до уже вивчених раніше.
У даному параграфі стисло розглянуті деякі закони розподілу. Найбільш важливому – нормальному розподілу присвячений окремий параграф.
2.6.1 Рівномірний
Широке застосування знаходять випадкові величини з рівномірною щільністю розподілу. В цьому випадку неперервна випадкова величина набуває з однаковою ймовірністю значення з певного інтервалу a; b . Функція щільності має вигляд:
|
1 |
|
|
|
|
|
при a x b , |
||
|
||||
f (x) |
|
|
|
|
b - a |
|
a |
x b. |
|
|
0 при x |
|||
Графік щільності рівномірного розподілу – відрізок прямої, паралельний осі 0x .
Ймовірність попадання випадкової величини на відрізок c; d , що належить
відрізку a;b , визначається за формулою |
P(c X d ) |
d c |
. |
|
|||
|
|
b a |
|
Рисунок 2.14 – Закон рівномірної щільності
84 |
|
|
Інтегральна функція F (x) рівномірного закону розподілу має вигляд |
||
0, |
x a, |
|
x a |
|
|
F (x) |
|
, a x b, |
|
||
b a |
x b. |
|
1, |
||
Математичне сподівання – середина відрізка [a;b] :
|
b |
|
|
b |
1 |
|
|
b a |
|
|
|
|
|
||||
M ( X ) xf (x)dx x |
dx |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
b a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дисперсію обчислюємо за формулою D( X ) M ( X 2 ) (M ( X ))2 . |
|
||||||||||||||||
b |
|
|
1 |
|
a2 ab b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
M ( X 2 ) x2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) M ( X 2 ) (M ( X ))2 |
|
a2 ab b2 |
|
(b a)2 |
|
(b a)2 |
. |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
12 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
До випадкових величин, що мають рівномірний розподіл, належать: час сподівання пасажиром транспорту, що курсує з певним інтервалом; помилка округлення числа до цілого (вона рівномірно розподілена на відрізку від -0,5 до
0,5)
2.6.2 Експоненціальний
Експоненціальним називається розподіл неперервної випадкової величини X ,
щільність ймовірностей якої має вигляд:
0, x 0,
f (x) e x , x 0.
Тут 0 - параметр розподілу.
Інтегральна функція розподілу експоненціального закону
x |
0 |
x |
F (x) |
f (x)dx 0dx e x dx 1 e x . Отже |
|
|
|
0 |
85
0, x 0,
F (x) 1 e x , x 0.
Графіки щільності і функції розподілу залежно від величини параметра розподілу зображені на рисунку 2.15.
Рисунок 2.15 – Експоненціальний розподіл
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Математичне сподівання M ( X ) x e x dx |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсія D( X ) M ( X 2 ) (M ( X ))2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
. |
|||
Середнє квадратичне відхилення ( X ) |
|
D( X ) |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характерна ознака експоненціального розподілу – рівність
Експоненціальний розподіл широко застосовується в теорії надійності, одним з основних понять якої є функція надійності.
Часто тривалість часу безвідмовної роботи елемента має експоненціальний розподіл.
Експоненціальний розподіл використовується в теорії масового обслуговування, у фізиці, в теорії надійності. Він використовується для опису розподілу випадкової величини вигляду: тривалість роботи приладу до першої відмови, тривалість часу обслуговування приладу в системі масового обслуговування і таке інше
2.6.3 Релея
Цей розподіл застосовується в радіотехніці, електротехніці та інше.
86
Розподілом Релея неперервної випадкової величини X називають розподіл,
щільність ймовірностей якого має вигляд
|
|
|
x2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
f (x) |
e 2a2 при x 0 |
|||
a 2
де a - параметр розподілу.
|
x2 |
|
|
|
|
Інтегральна функція розподілу F (x) 1 e 2a2 . Графіки щільності і функції |
||
розподілу залежно від величини параметра розподілу зображені на рисунку 2.16.
Математичне сподівання і дисперсія виражаються через параметр a і мають
вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( X ) a |
|
, D( X ) 2a |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
Рисунок 2.16 – Розподіл Релея
Контрольні питання
1.Який закон розподілу називається рівномірним, який вигляд має графік щільності розподілу і функції розподілу?
2.Наведіть приклад випадкової величини з рівномірною щільністю розподілу.
3.Який закон розподілу називається експоненціальним, де використовуються випадкові величини з експоненціальним розподілом?
4.Як визначається і де застосовується розподіл Релея?
87
Задачі
1.Ціна поділки шкали вимірювального приладу дорівнює 0,2. Показання приладу округлюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблена помилка: а) менша 0,04; б) більша 0,05.
2.Автобуси деякого маршруту відбувають точно за розкладом. Інтервал руху 5 хвилин. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки,
чекатиме черговий автобус менше 3 хвилин.
3.Хвилинна стрілка електричного годинника переміщується стрибком в кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в дану мить годинник покаже час, який відрізняється від істинного не більше ніж на 20 с.
4.Знайти математичне сподівання випадкової величини X, розподіленою рівномірно в інтервалі (2, 8).
5.Знайти математичне сподівання експоненціального розподілу, заданого
при x 0 : а) щільністю f (x) 5e 5x ; б) функцією розподілу F (x) 1 e 0,1x .
6. Студент пам'ятає, що щільність експоненціального розподілу має вигляд f (x) 0 якщо x 0 , f (x) Ce x якщо x 0 ; проте він забув чому
дорівнює постійна С. Необхідно знайти С.
Відповіді: 1) а) P(0 X 0,04) P(0,16 X 0,2) 0,4 ;
б) P(0,05 X 0,15) 0,5 ; 2) P(2 X 5) 0,6 ; 3) P(0 X 1/ 3) P(2 / 3 X 1) 2 / 3; 4) M ( X ) 5;
5) а) M ( X ) 0,2 ; б) M ( X ) 10 ; 6) C .
2.7 Нормальний розподіл (Гаусса)
Якщо випадкова величина X - результат підсумовування безлічі випадкових величин з довільними законами розподілу, причому кожна з них відіграє приблизно однакову роль в сумі, то закон розподілу випадкової величини X
близький до закону розподілу, названого нормальним, або розподілом Гаусса.
При нормальному законі щільність розподілу задається формулою:
f (x) |
|
1 |
|
|
( x a)2 |
|
|
|
|
|
2 2 . |
(2.8) |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 e |
||||||
|
|
|
|
|
||||
88
Формула (2.8) надзвичайна з багатьох причин. По-перше, формула містить дві виключно важливих константи – число (пі) і число Непера e . По-друге,
параметр a – математичне сподівання випадкової величини, параметр -
середнє квадратичне відхилення. По-третє, при будь-яких значеннях параметрів
|
|
|
|
|
|
|
|
a, площа під нормальною кривою дорівнює одиниці |
f (x)dx 1. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графік функції розподілу називається нормальною кривою. |
|
|
|
|
|
|
|
Відзначимо, наступне: |
|
|
|
|
|
|
1) |
функція визначена на вздовж усієї осі Ox ; |
|
|
|
|
|
|
2) |
при всіх x значення функції додатне, тобто для x R, f (x) 0 ; |
|
|
||||
3) |
lim y 0 , а це означає, що вісь Ox є горизонтальною асимптотою; |
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
4) у точці x a функція має максимум, який дорівнює |
ymax |
|
1 |
|
. |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Графік функції симетричний відносно прямої x a .
Рисунок 2.17 – Положення кривої на осі
При однаковому значенні параметра параметр a (математичне
сподівання) визначає положення нормальної кривої на числовій осі. На рисунку
2.17 показані дві нормальні криві, для яких 1 2 1 і a1 2, a2 3 .
При однаковому значенні параметра a величина параметра (середнє
квадратичне відхилення) визначає форму кривої. |
|
|
|
|
|
На рисунку 2.18 показані криві, для яких a1 a2 |
2 і |
1 |
0,5, |
2 |
1. |
|
|
89 |
Якщо параметри a і |
0 мають довільні значення, нормальний розподіл |
|
називається загальним. |
Нормальний розподіл з параметрами a 0 |
і 1 |
називається нормованим. |
Крива нормованого розподілу симетрична щодо осі Oy . |
|
Рисунок 2.18 – Форма нормальної кривої
|
|
|
|
|
розподілу x |
|
1 |
|
|
x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
Таблиця |
щільності нормованого |
|
|
|
e |
|
|
наведена в |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
додатку А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функція нормованого розподілу F0 (x) (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Інтеграл від щільності нормованого розподілу на відрізку |
[0; x] |
називається |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функцією |
Лапласа: |
(x) |
|
|
e |
2 |
dz . |
Функція |
|
Лапласа |
дорівнює |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ймовірності |
попадання |
нормованої |
|
випадкової |
величини |
|
на |
|
відрізок [0; x] . |
|||||||||
Функція Лапласа – непарна функція. Функція Лапласа пов'язана з функцією
розподілу F0 (x) |
нормованого розподілу формулою |
F0 (x) 0,5 (x) . |
Ймовірність |
попадання будь-якої випадкової |
величини в інтервал ; |
дорівнює приросту її функції розподілу на цьому інтервалі
P( X ) F( ) F( ) .
Якщо випадкова величина підпорядкована нормальному закону, часто замість функції розподілу застосовується функція Лапласа.
P( X ) F0 ( ) F0 ( ) ( ) ( ) .
90
Якщо випадкова величина задана загальним нормальним розподілом, то ймовірність попадання нормальної випадкової величини в інтервал визначається за формулою
|
a |
|
a |
|
||
P( X ) |
|
|
|
|
. |
(2.9) |
|
|
|
|
|
||
У цьому посібнику функція Лапласа задана таблицею в додатку Б.
Правило трьох сигм. Часто зустрічається завдання обчислення
ймовірностей попадання випадкової величини на ділянку, симетричну щодо центру розсіювання, тобто щодо математичного сподівання mx a .
a l a |
a l a |
l |
||||||
P(a l X a l) |
|
|
|
|
|
2 |
|
або |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P( |
X a |
|
l) 2 |
|
. |
(2.10) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так, якщо l , то |
P( |
|
X a |
|
) 2 1 0,6826 . Якщо |
l 2 , то |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( X a 2 ) 2 2 0,9544 .
Якщо l 3 , то |
P( |
|
X a |
|
3 ) 2 (3) 0,9973 . Останнє число |
|
|
означає, що 99,73% усіх значень випадкової величини, підпорядкованої нормальному закону, вміщується на ділянці mx 3 . Це дозволяє, знаючи математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення ( - сигма), вказати інтервал її практично можливих значень. Такий спосіб оцінки можливих значень випадкової величини називається «Правилом трьох сигм».
На рисунку 2.19 заштрихована область – площа під нормальною кривою на відрізку
Рисунок 2.19 - Ілюстрація правила трьох сигм