Свойства функций, непрерывных на отрезке

Приведем несколько теорем, характеризующих свойства непре­рывных на отрезке функций.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она ограничена и достигает своих нижней и верхней граней, т. е. на нем существуют по крайней мере две точки и , такие, что

, .

Например, функция непрерывна на отрезке [–2; 3]. Она ограничена на [–2; 3] (  9) и существуют такие две точки = 0 и = 3, принадлежащие отрезку [– 2; 3], что

, .

Заметим, что непрерывная функция на открытом промежутке ]а; Ь[ может быть неограниченной и, следовательно, не иметь своих точных нижней и верхней граней. Такой функцией является, на­пример, функция на интервале ] ; [.

Теорема (о сохранении знака). Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой знак функции совпадает со знаком .

Доказательство этой теоремы основывается на использовании теоремы о плотности числовой прямой. Геометрическая интерпретация этой теоремы дана на рисунках.

Например, функция непрерывна в точке , и .Следовательно существует такая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак, т. е. .

Теорема Больцано — Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой значение функции равно нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки и графика функции , соответствующие концам отрезка , лежат по разные стороны от оси , то график функции хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось .

Функция , график которой представлен на рисунке ниже, имеет три точки: , , где .

Замечание. Если непрерывна и монотонна на ,то существует не более одной точки , такой, что .

Теорема (о промежуточных значениях). Пусть непре­рывна на отрезке и , . Тогда для любого числа , заключенного между и , найдется такая точка , что .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функ­ции . Пусть и .

Тогда прямая , где — любое число, заключенное между и , пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Если же непрерывна и монотонна на , то существует единственная точка , такая, что .

Теорему о промежуточных значениях можно переформулировать так: непрерывная функ­ция, переходя от одного значения к другому, обязательно прини­мает все промежуточные значения.

В курсе математического анализа встречаются кусочно-непрерывные на отрезке функции.

Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на от­резке , если она непрерывна во всех внутренних точках за исклю­чением, быть может, конечного числа точек, в которых эта функция имеет разрыв первого рода или устранимый разрыв, и, кроме того, она имеет односторонние пределы в точках и .

Функция называется кусочно-непрерывной на числовой пря­мой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой.

Дифференциальное исчисление

функции одной переменной.

Понятие производной. Механический и геометрический смысл производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрица­тельное), такое, что , то приращение функции опре­деляется выражением .

Определение. Производной функции в произ­вольной фиксированной точке называется предел (если он суще­ствует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Наиболее употребительные обозначения производной функции

в точке : , , , . Таким образом,

Производная функции в произвольной точке обозна­чается так: , , , , .

Операция нахождения производной функции называется диф­ференцированием.

При каждом конкретном числовом значении производная (если она существует при данном ) функции представляет собой определенное число. Значениям переменной ставятся в соответ­ствие определенные значения переменной . Следовательно, про­изводная является функцией аргумента . Можно сказать, что функ­ция «порождает» (или «производит») функцию (отсюда и название «производная»).

Если для некоторого значения

+ ( или –),

то говорят, что для этого значения существует бесконечная про­изводная.

В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать существование конечной производной, если не ого­ворено противное.

Определение. Если функция определена в левосторон­ней (правосторонней) окрестности точки и существует конечный или бесконечный предел для этой функции:

,

то он называется соответственно конечной или бесконечной произ­водной слева (справа) функции в точке и обозначается

.

Левую и правую производные называют односторонними произ­водными. Из свойств пределов следует, что если функция , опреде­ленная в некоторой окрестности точки , имеет конечную произ­водную , то существуют производные слева и справа, причем

= =

Пример. Найти по определению производную функции .

Решение. Дадим фиксированному значению аргумента приращение . Тогда:

.

Механический смысл производной. Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки . Если аргумент функции получает приращение (положительное или отрицательное), такое, что принадлежит той же окрест­ности точки , то соответствующее приращение функции , тогда средняя скорость изменения функции

,

а мгновенная скорость ее изменения

.

В этом состоит механический смысл производной, т. е. производная — математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией . В зависимости от содержа­тельной сущности функции можно получить широкий круг математи­ческих моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некото­рые из них.

1. Пусть материальная точка движется неравномерно и — функция, устанавливающая зависимость пути от времени . Тогда мгновенная скорость движения в момент времени есть произ­водная от пути по времени :

.

2. Пусть —функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени . Тогда мгновенное ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени :

.

3. Пусть — функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до темпе­ратуры . Тогда теплоемкость тела есть производная от количества теплоты по температуре :

.

Геометрический смысл производной. Рассмотрим задачу о прове­дении касательной к произвольной плоской кривой.

Определение. Касательной к кривой в точке называ­ется прямая , которая представляет собой предельное положение секущей при стремлении по кривой точки к точке .

Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке провести касательную нельзя. Это бывает в случае, когда точка является точкой излома, или заостре­ния, кривой.

Пусть кривая является графиком функции и точка . Предположим, что касательная к кривой в точке существует. Угловой коэффициент секущей .

Если , то точка движется по кривой к точке и секущая стремится к своему предельному положению . Таким образом,

,

т. е. если кривая является графиком функции , то производная от функции при равна угловому коэффици­енту касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Уравнения касательной и нормали. Угол между кривыми. Для составления уравнений касатель­ной и нормали к плоской кривой используем геометрическую интер­претацию производной.

Пусть кривая задана уравнением . Угловой коэффициент касательной к ней в точке , где . . Уравнение касательной можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении: , но поэтому

есть уравнение искомой касательной.

Так как угловые коэффициенты касательной и нормали связаны условием перпендикулярности , то уравнение норма­ли в точке имеет вид

.

Определение. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения.

Определение. Две линии называют ортогональ­ными, если они пересекаются под прямым углом.

Пример. Найти угол, под которым синусоида пересекает ось в начале координат.

Решение. Так как , то , следовательно касательная, а значит, и синусоида, пересекают ось под таким углом , для которого , т. е. под углом .