Теоремы о среднем значении

Теоремы о среднем — одно из свойств дифференцируемых функций. Одним из важнейших классов (множеств) функций, изуча­емых в курсе математического анализа и имеющих первостепенное значение при решении задач практического характера, является класс непрерывных функций. Класс дифференцируемых функций является подмножеством мно­жества непрерывных функций. Дифференцируемые функции пред­ставляют особый интерес, так как большинство задач техники и естествознания приводят к исследованию функций, имеющих про­изводную. Такие функции обладают некоторыми общими свойствами, среди которых важную роль играет ряд теорем, объединенных общим названием теоремы о среднем. В каждой из этих теорем утвержда­ется существование на отрезке такой точки, в которой иссле­дуемая функция обладает тем или иным свойством.

Теорема (Ролля). Пусть функция удовлетворяет сле­дующим условиям на отрезке .

1) определена и непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

3) .

Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что .

Доказательство. Известно, что если непрерывна на , то на этом отрезке она принимает свое наибольшее и наименьшее значения (по теореме Вейерштрасса). Возможны два случая.

1. = .

2. > . Тогда из условия следует, что хотя бы одно из двух значений или функция принимает в некоторой внутрен­ней точке отрезка . Пусть для определенности . Это означает, что  .

Покажем, что . Согласно условию 2 теоремы Ролля, для , в том числе и для точки существует конечная производная функции . Это условие равносильно существованию равных односторонних пределов:

.

Найдем односторонние пределы. Так как > , то приращение функции 0. Следовательно,

.

Случай рассматривается аналогично. ⊠

Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим обра­зом: если непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интер­вале функция принимает на концах этого отрезка равные значения, то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка с абсциссой , в которой касательная параллельна оси .

З амечание. Условия теоремы Ролля являются достаточными, но не необхо­димыми. Например, функция определена и непрерывна на [—1; 1], диффе­ренцируема во всех внутренних точках этого отрезка, однако для нее не выпол­няется третье условие теоремы Ролля: . Тем не менее, существует точка , такая, что .

Теорема (Лагранжа). Если функция непрерывна на от­резке и дифференцируема на интервале , то существует по крайней мере одна точка , такая, что

. (1)

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

.

Покажем, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:

1) непрерывна на , так как явля­ется суммой непрерывных на функций;

2) дифференци­руема на , так как является суммой дифференцируемых на функций;

3) .

Тогда по теореме Ролля существует точка , такая, что .

,

тогда

.

⊠

Теорему Лагранжа иногда называют также теоремой о конеч­ных приращениях.

Формулу (1) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записы­вают в виде:

.

Геометрически теорема Лагранжа утверждает, что между точками и на дуге найдется по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде , при условии, что в каждой точке дуги существует касательная.

Положим в формуле Лагранжа (1) , . Тогда она примет вид

, (2)

где .

Формула (2) связывает приращения аргу­мента и функции, поэтому ее называют формулой конечных при­ращений.

Если в формуле Лагранжа (1) положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. В свою очередь обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема (Коши). Пусть функции и удовлетворяют

следующим условиям:

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы в интервале , причем .

Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что

. (3)

Доказательство. Составим вспомогательную функцию:

.

Заметим, что . Действительно, если бы , то для функции на отрезке [a; b] были бы выполнены все усло­вия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка нашлась бы по крайней мере одна точка , для которой , что про­тиворечит условию теоремы. Следовательно, .

Покажем, что вспомогательная функция удовлетворяет усло­виям теоремы Ролля. Действительно:

1) непрерывна на как сумма непрерывных на функций;

2) дифференцируема на как сумма дифференцируемых на функций;

3) ,

Найдем производную функции :

.

По теореме Ролля существует точка такая, что

.

⊠

При формула Ко­ши (3) «перейдет» в формулу Лагранжа (2). Таким образом, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.