+_Algebra10_Nelin_profil

§ 5. Рівняння і нерівності, що містять знак модуля  111

Проілюструємо також одержання і використання спеціальних співвідношень, наведених у таблиці 15.

ul 0,

Обґрунтуємо, наприклад, співвідношення 5: u + v = u+ v

vl 0.

Запишемо задану рівність у вигляді u + v = | u | + | v | і проаналізуємо її, спираючись на відомі із 6 класу правила дій над числами з однаковими і з різними знаками. Щоб додати два числа u і v, ми додали їх модулі, отже, ці числа мають однакові знаки. Якби обидва

ці числа були від’ємними, то їх сума була б теж від’ємною, але u + v = | u | + | v | l 0. Тоді одержуємо, що числа u і v — обидва не-

криття знаків модулей повністю аналогічні міркуванням, які використовувалися при розв’язуванні рівнянь із модулями.

§ 5. Рівняння і нерівності, що містять знак модуля  113

Проміжок ІV: х (3; +∞). У цьому проміжку одержуємо нерівність

ку нерівність (1) перетворюється на правильну числову нерівність (1 l 1). Отже, розв’язком нерівності (1) у IV проміжку є будь-яке число із цього проміжку (x > 3).

Об’єднуючи всі розв’язки, які ми одержали в кожному з проміжків,

маємо розв’язок заданої нерівності на всій ОДЗ: x < 1 або x > 3. Відповідь: (–∞; 1) Ÿ (3; +∞). 

Зазначимо, що для розв’язування деяких нерівностей з модулями зручно використовувати також спеціальні співвідношення, наведені в таблиці 15.

 Оскільки | a | l 0 і функція y = t2 монотонно зростає на множині невід’ємних чисел, то всі різниці модулів у нерівності можна замінити на різниці їх квадратів (тобто скористатися співвідношенням 4: | u | – | v | > > 0 u2 – v2 > 0). Тоді одержуємо нерівність, рівносильну заданій:

Тепер, розкладаючи на множники всі різниці квадратів, маємо:

(−4) (2x + 2) (x −6) (3x + 6) <0. (−1−2x) 3

Далі методом інтервалів одержуємо –2 < x < –1 або −12 < x <6 (рис. 57).

Відповідь: –2 < x < –1 або −12 < x <6. 

Загальна схема, запропонована в таблиці 15, може бути використана не тільки при розв’язуванні рівнянь чи нерівностей з модулями, але й при виконанні перетворень виразів із модулями.

Наприклад, для побудови графіка функції f (x) = | x + 1 | + | x – 1 | зручно спочатку за загальною схемою розкрити знаки модулів, а вже потім будувати графік функції f (x).

Оформлення розв’язання подібного прикладу може бути таким.

Приклад 6. Побудуйте графік функції f (x) = | x + 1 | + | x – 1 |.

1. Область визначення функції: всі x R.

2.Нулі підмодульних функцій: х = –1 і х = 1.

3.Позначаємо нулі на області визначення і розбиваємо область визначення на проміжки (на рисунку 58 також указано знаки підмодульних функцій у кожному з проміжків).

§ 6. Рівняння і нерівності з параметрами  117

в’язують за допомогою рівносильних перетворень, а всі рівносильні перетворення рівнянь чи нерівностей виконують на області допустимих значень (ОДЗ) заданого рівняння чи нерівності (тобто на спільній області визначення для всіх функцій, які входять до запису рівняння чи нерівності). Тому, перш ніж записати відповідь, потрібно обов’язково врахувати ОДЗ заданого рівняння чи нерівності.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння xx−3 =1+ xa, де x — змінна.

Коментар

Задані дробові вирази існують тоді і тільки тоді, коли знаменники заданих дробів не дорівнюють нулю, отже, ОДЗ рівняння: х ≠ 3, х ≠ 0.

Помножимо обидві частини заданого рівняння на вираз х (х – 3) —

не заданому: x2 = x (x – 3) + a (x – 3). З цього рівняння одержуємо x2 = x2 – 3x + ax – 3a, тобто ax – 3x = 3a. Тоді (a – 3) x = 3a.

Для того щоб знайти значення змінної х, хотілося б поділити обидві частини останнього рівняння на (а – 3), але при а = 3 довелося б ділити на 0, що неможливо. Отже, починаючи з цього моменту потрібно розглянути два випадки.

Розв’язання відповідно до наведених вище міркувань можна наочно записати у вигляді схеми.

Розв’язання

ОДЗ: х ≠ 3, х ≠ 0.

x2 = x (x – 3) + a (x – 3), x2 = x2 – 3x + ax – 3a, ax – 3x = 3a,

З’ясуємо, при яких значеннях а знайдені корені не входять до ОДЗ рівняння, тобто при яких значеннях а одержуємо х = 3 та х = 0.

§ 6. Рівняння і нерівності з параметрами  119

Якщо a = 54, то корінь х = 2 рівняння (1) входить до ОДЗ і є коренем заданого рівняння.

З’ясуємо, при яких значеннях а знайдені корені не входять до ОДЗ, тобто при яких значеннях а одержуємо х = 0 і х = а.

Підставляючи в рівняння (1) х = 0, одержуємо а = 0, але при а = 0 задане рівняння не має коренів.

Підставляючи в рівняння (1) х = а, одержуємо а3 – 5а + 4а = 0, тобто а3 – а = 0, а (а2 – 1) = 0. Тоді а = 0 (задане рівняння не має коренів), або а = ±1. Перевіримо ці значення а.

При а = 1 ОДЗ записується так: х ≠ 0, х ≠ 1. Із формули коренів (2) маємо x1 = 4 (входить до ОДЗ) і x2 = 1 (не входить до ОДЗ). Отже, при а = 1 задане рівняння має тільки один корінь х = 4.

При а = –1 ОДЗ записується так: х ≠ 0, х ≠ –1, а із формули коренів (2) отримаємо: x1 = –4 (входить до ОДЗ) і x2 = –1 (не входить до ОДЗ). Отже, при а = –1 задане рівняння має тільки один корінь х = –4.

Таким чином, формулу коренів (2) можна використовувати, якщо −54 < a< 54, тільки при а ≠ 0 і а ≠ ±1.

Відповідь: 1) якщо a = 54, то х = 2;

2)якщо a = −54, то х = –2;

3)якщо а = 1, то х = 4;

4)якщо а = –1, то х = –4;

Зауваження. Щоб полегшити запис відповіді в цьому та аналогічних прикладах, можна користуватися таким способом. Перед записом

120  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

відповіді в складних або громіздких випадках зобразимо вісь параметра (a) і відмітимо на ній усі особливі значення параметра, які з’явилися в процесі розв’язування. Під віссю параметра (лівіше від неї) випишемо всі одержані розв’язки (крім розв’язку «коренів немає») і напроти кожної відповіді відмітимо, при яких значеннях параметра цю відповідь можна використовувати (рис. 60). Після цього відповідь записують для кожного з особливих значень параметра і для кожного з одержаних проміжків осі параметра. Зокрема, у розглянутому прикладі перед записом відповіді зручно зобразити на чернетці таку схему (рис. 60).

1) х = 2

2) х = –2

4) х = 4

5) х = –4

Рис. 60

6.2. Дослідницькі задачі з параметрами

Деякі дослідницькі задачі з параметрами вдається розв’язати за такою схемою: 1) розв’язати задане рівняння чи нерівність; 2) дослідити одержаний розв’язок.

Приклад 1. Знайдіть усі значення а, при яких рівняння (x + a) (x −5a) =0 x +7

має єдиний корінь.