8.Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної. Таблиця похідних. Геометричний та механічний зміст. Правила відшукання похідних. Похідна композиції функцій.

З1.Матеріальна точка рух-ся прямолінійно за зак S=S(t). Знайти шв-ть точки в момент часу t(миттєву шв-ть).

Надамо величині t деякого приросту ∆t.

t∆t; t, t+∆t; ∆S=S(t+∆t)-S(t); V_сер=∆S/∆t; ; V_мит=S^I(t)

t∆t; t, t+∆t; ∆S=S(t+∆t)-S(t); V_сер=∆S/∆t; ; V_мит=S^I(t)

З2.Зн. кутвий коефіцієнт дотичної до графіка ф-ії f(x) в точці M(x,y).

Розглянемо деяку криву (К).

Озн. Дотичною до кривої (К) в т. М наз-ся граничне положення МТ січної ММ₁, коли т. М₁ наближ. вздовж кривої (К) до т. М.

Розглянемо деяку функцію f(х), зобразимо її графік

; ;

Озн. Похідною функції називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля..

Якщо функція в точці х має похідну, то вона називається диференційованою в цій точці. Якщо ми маємо дві функції U(x) і V(x) диференційовані в т. х, то буде диференційована їх сума, добуток і частка(V(x)0)

Похідна оберненої функції. Нехай маємо функцію y=f(x). Нехай до неї існує обернена ф-ція

Т1. Якщо функція y=f(x) в т. х має похідну, не рівну нулю, то обернена ф-ція у відповідній точці-у також має похідну, яка записується:або

Д:1) Надали приросту змінній у, 2) Тоді змінна х набирає приріст,3),

4) Отже

Похідна складної функції. Нехай y=f(u), а , то ми маємо складну ф-цію:.

Т2. Якщо функція f(u) має похідну , а ф-ціямає похіднуу відповідній точці х, то складна ф-ція має похідну

Д. Оскільки існує , то існує границяпри.Поділимо обидві частини наі перейдемо до границі:

Якщо , тоОтже,тобто.

Похідна ф-ції, заданої параметрично.

Т3. Якщо ф-ції і мають похідні, причому, тоді існує похідна, рівна частці похідних.Доведення. Якщо у- ф-ція від х, то

Основна таблиця похідних:

9.Застосування похідної до дослідження функції на сталість, монотонність.

Теорема. Нехай функція визначена на проміжку X і всередині цього проміжку має похідну , а на кінцях (якщо вони належатьX) зберігає неперервність. Для того, щоб функція f(x) була тотожня константа в X необхідно і досить, щоб =0 в серединіX.

Дов. Необхідність. Нехай тотожня константа ,.То очевидно, що.Необхідність виконується.

Достатність. Дано, що похідна у кожній точці дорівнює нулю. Треба показати, що тотожня стала. Це означає, що які б ми дві точки з областіX не взяли .

Застосуємо теорему Лагранжа. .==const.

Теорему доведено.

Наслідок. Якщо і g(x) визначені на проміжку X і всередині нього мають скінченні похідні іg(x), ці похідні рівні, то ці функції відрізняються на сталу

Дов. Функція -g(x) має похідну .То

Необхідні і достатні умови монотонності функції у широкому розумінні.

Теорема. Нехай визначена на проміжкуX і всередині нього має скінченну похідну .Для того, щоббула монотонно зростаючою (спадною) у широкому розумінні необхідно і досить, щоб.

Дов. Необхідність. Нехай неспадна (не зростаюча)Застосуємо теорему Лагранжа: (1).Припустимо що Оскількиі, то з(1) .. Аналогічно для зростаючих.

Достатність. Нехай похідна для всіх x, що міститься всередині X , тоді з формули(1) видно, що .Тобто функція не спадна. Теорему доведено.

Необхідні і достатні умови монотонності функції у вузькому розумінні.

Теорема. Нехай визначена на проміжкуX і всередині нього має скінченну похідну . Для того, щоббула вX монотонно зростаючою (спадною) у вузькому розумінні необхідно і досить, щоб :

1); 2)не утворюють інтервал, який повністю міститься вX.

Дов.

Необхідність.

1)Нехай - строго монотонно зростаюча для. За попередньою теоремою. 2) Від супротивного. Нехайутворює інтервал,який повністю міститься вX. Тоді візьмемо інтервал і застосуємо на цьому інтервалітеорему Лагранжа. Але всі. Тому. Звідси випливає, що функціянемонотонна у вузькому розумінні. Наше припущення не вірне. Отже нулі похідної не заповнюють інтервал.

Достатність.

Нехай виконується 1) і 2). В силу 1) ми маємо - монотонна у широкому розумінні. І нехай вона немонотонна у вузькому розумінні, тобто, який міститься вX, що для всіх точок із функція. То тут її похідна. І ціx заповнюють цілий інтервал , який повністю міститься вX. Це суперечить 2). Тому функція монотонна у вузькому розумінні. Теорему доведено.