12.Первісна функція (неозначений інтеграл). Таблиця основних інтегралів. Інтегрування підстановкою, частинами.

Визначення. Функція F(x) називається первісною функцією (або просто первісною) для функції f(x) на інтервалі (a,b), якщо в довільній точці x інтервалу (a,b) функція F(x) диференційована і має похідну F(x), що дорівнює f(x).

Т1: Якщо в деякому проміжку Х ф-я F(x) є первісною для функції f(x), то функція F(x) + C, де С – стала теж буде первісною для f(x) на проміжку Х.

Д: (F(x)+C)’=F’(x)+0=f(x) – за означ. первісної

Нехай Ф(х) теж деяка первісна для ф-ї f(x) на відрізку Х, тобто Ф’(x)=f(x). Ф(х)= F(x)+C – за умовою сталості ф-ї.

Отже, вираз F(x)+C являє собою заг. вигляд ф-ції, яка має похідну f(x. Цей вираз називається неозначеним інтегралом від ф-ції f(x) і позн.

Властивості:

Правила інтегрування:

А) Заміна змінної в інтегр.

Нехай маємо-первісна,

візьмемо таку, що,неперервна,-неперер., то

Перевіримо (2)

- вийшла підінтегральна ф-я , тому (2) справедлива

Нехай ми ф-ю

- можемо представити

- тут істотно, що ми можемо виділ. ф-ї і її похідну;

Розглянемо 2 випадок заміни змінних. Якщо ми маємо - монотонна, неперервна і і має неперервну похідну(монотонна, напр.. для того , щоб існув. обернена ф-я) Такою ф-єю є ф-я

- непер. складна ф-я, , тому

Маємо

В) Інтегрування частинами

Є два основних методи інтегрування частинами. Метод інтегр. частинами базується на в-тях інтегралів.

Нехай ми маємо ,- всі чотири ф-ї непер. в обл...

Запишемо диферент. від добутку

- про інтегруємо праву і ліву частину

- ф-ла інтегрув. частинами.

Зауваження:

1. Якщо під інтегралом є многочлен_n(X)=sinaxdx, _n(x)e^axdx, то як правило через U позначають P_n(x)

2. Якщо під інтегралом є log, або arc-ф-я, то цей log, або arc-ф-ю позначаємо через U.

3. Деякі інтеграли вимагають кількаразового інтегрування по частинам.

13.Інтеграл Рімана. Необхідна умова. Необхідна і достатня умова інтегрованості. Класи інтегрованих функцій. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Нехай f(x) задана на відрізку [a,b]. Поділимо відрізок [a,b] довільним способом на частини. На кожному з відрізків вибираємо довільно точку .

a x_k x_k+1 b

,.

Обчислюємо f() і складаємо суму: - інтегральна сума, де. Якщо існує границя цієї інтегральної суми, незалежно від поділу відрізка на частини і від вибору точок на кожному з них, то її називаютьвизначеним інтегралом від функції f(x) на [a,b] при :

- інтеграл Рімана, де - найбільший з відрізків(),f(x)- підінтегральна функція.

Якщо границя не існує, або=, то ф-ція назв. Неінтегровною на [a,b]

Т(необхідна умова). Якщо функція інтегрована, то вона обмежена.

Д. Припустимо, що функція не обмежена зверху. Тобто вона не обмежена хоч на одному з тих відрізків. Тоді за рахунок вибору точки ,можна зробити як завгодно великим. Тоді хоч один доданок в інтегральній сумі, тому границя не існуватиме і функція не інтегровна.

Т. про існування визначеного інтеграла (необхідна і достатня умова). Для існування визначеного інтеграла необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою і .(1)

На ”мові -” умова (1) означає, що для, що як тільки(тобто проміжок розбитий на частини довжиною), виконується нерівність S-s<

Д. a) Н-ть. Нехай існує .Тоді ,що як тільки, або ,.Оскільки s і S точні грані для , тому, і, звідкипри.

б) Д-ть. Нехай виконується (1)З , і якщо позначити їх спільне значення черезI , то ,.

Класи інтегровних функцій.

Т1.Всяка неперервна функція на відрізку інтегрована.

Д. Функція неперервна на відрізку.Треба довести, що(1). На основі теореми Кантора для заданогозавжди знайдеться таке; що якщо відрізокрозіб’ємо на частини , щоб коливання ф-ції на кожній з них було менше як, тоді сума. Границя цієї суми нуль; умова (1) виконується, звідси випливає існування інтеграла.

Т2. Якщо ф-ція обмежена на відрізкуі має скінченне число точок розриву, то вона інтегрована на цьому відрізку.

Д. Проведемо доведення для випадку, коли одна точка розриву. Поділимо відрізок на частини так, щоб. Нехай на перед задане довільне. Відкладемо точки. Сумурозділимо на дві:і. До суминалежать відрізки, які поза околом (), а до суминалежать всі решта точки. Згідно теореми Кантора.

Позначимо - коливальні ф-ції на всьому відрізку, ().

. Завжди можна вважати, що . Тоді. Границя такої суми буде дорівнювати 0.

Т3.Якщо ф-ція обмежена і монотонна на відрізку, то вона інтегровна на цьому відрізку.

Формула Ньютона-Лейбніца.

Для неперервної на [a, b] ф-ї інтеграл є первісною. ЯкщоF(x) є довільна первісна для f(x) функція, то Ф(х)=F(x)+C.

Сталу С легко визначити, поклавши х=а, бо Ф(а)=0. Будемо мати 0=Ф(а)=F(а)+С, звідки С= -F(а). Тому Ф(х)=F(x)+F(а).

При х=b отримаємо

14. Основні застосування інтеграла Рімана (знаходження площ, об’ємів, довжин дуг; площ поверхонь обертання; фізичні застосування).

Теорема:Якщо функціяf невід’ємна і неперервна на відрізку [], а

P={():,}, (1) Тоді площаS множини P задається формулою (2) Нехай_k- розбиття відрізка [], =[_{k-1, k}], _k=_k-_k-1,

=,=(3)

Позначимо відповідно через ізамкнуті прямокутники,які складені зі всіх прямокутників вигляду (4)

(5)

. (6)

Із (3) що для будь-якого розбиття виконується включення з цього слідує що (7)

З (4) (5) що так як прямокутникиі відповідноне мають спільних внутрішніх точок то в силу (6)

,

Інакше кажучи площі прямокутниківдорівнюють відповідно нижній і верхній сумам Дарбу функціїf .Тому з нерівності (7) випливає що , а так якто, Якщо функціяf від’ємна і неперервна на відрізку[] і

то Дійсно, якщо а-множина, симетрична множині відносно вісіто за формулою (2)Оскільки площі симетричних множин рівні, тобтоа

Обчислення площі в полярних координатах.

Нехай P-замкнута множина,границею якої є деяка крива,яка задана рівнянням -неперервна функція)Згідно формули для обчислення сектора

слідує

Одержані суми є відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу функції Оскільки суми Дарбуіприпрямують до одної границі тоОтже

Обчислення довжини кривої.

Нехай -крива що задана своїм неперервно диференційовним вектором

,тоді вона спрямлювана пряма і якщо - її змінна довжина дуги то функціядиференційована і

За формулою Ньютона-Лейбніца для довжини кривої маємо формулу

Якщо то

У випадку коли криває графіком функціїдля її довжини справедлива формула

Обчислення об’єму тіла

Нехай функція невід’ємна і неперервна на відрізку [] аQ-тіло, одержане внаслідок обертання криволінійної трапеції P породженої графіком функції

Покажемо що для об’єму V цього тіла справедлива формула

Позначемо через і,що утворилися внаслідок обертання навколо осіx фігур іЗ включеннявипливає включенняа відповідно і нерівність

Об’єми ірівні сумам об’ємів які складаються із циліндрів, що утворилися обертанням прямокутниківіі

З цієї рівності видно, що іє нижньою і вверхньою сумами Дарбу функціїтому

14. Функція багатьох змінних. Границя, неперервність. Властивості неперервних функцій.

Озн. Сукупність точок n-вимірного простору для яких за допомогою ф-ли введено поняття відстані називаєтьсяn-вимірним Евклідовим простором і позначається Eⁿ

Озн. Якщо кожній точці М із мн. Е Еⁿ за деяким законом ставиться у відповідність деяке число u то кажуть, що на мн. Е задана ф-ція u=u(M) або u=f(M) або u=u(x₁,…,x_n) і така ф-ція назв. ф-ю від багатьох змінних.

M є Е Еⁿ u є R

Мн. Е – область визначення ф-ції.

Область значень – множина дійсних чисел.

Озн. границі функції (на мові ).Кажуть, що функція має границю числоА при , якщо.

n-кратна границя.

Озн. Число А е границею ф-ції f(M) в точці М₀, якщо для будь-яких послідовностей точок М₁,…,М_n … збіжні до М₀ відповідна послідовність f(M₁),…, f(M_n),… значень ф-ції збігається до А.

Теорема про рівність повторних і подвійних границь.Якщо визначена на проміжку,точка скупчення,і 1)., 2).тоді.

Доведення. Сформулюємо означення подвійної границі , якщо,то.(1)

Вибираємо yтаке, щоб виконувалосьі в (1) перейдемо до границі при фіксованомуy, , ми маємо, що, це означає, що, а це не що інше як.