5. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
НАХОЖДЕНИЕ ПЛАНА ВАЛОВОГО ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ И ОБЪЕМА КОНЕЧНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ ПРОДУКЦИИ ОТРАСЛЕЙ.
Теоретические основы [1,2].
Модель межотраслевого баланса (МОБ) В.Леонтьева в матричном виде выражается следующим образом X = AX +Y , или
|
(E − A) X =Y , |
|
(5.1) |
|
где |
X - ( n ×1)- вектор |
валовой продукции отраслей, |
Y - ( n ×1)-вектор |
|
конечной продукции отраслей, A - ( n ×n ) - |
матрица прямых материаль- |
|||
ных затрат, E - единичная ( n ×n ) – матрица; |
n - количество отраслей. Из |
|||
(5.1) |
при известном X |
определяется Y ; при известном Y , решив мат- |
||
ричным методом систему (5.1), находим X : |
|
|
||
|
X = (E − A)−1Y . |
|
(5.2) |
|
|
В модели В.Леонтьева полагается: a) |
матрица |
A не зависит от |
|
X (это можно заметить из (5.2)); b) элементы матрицы A сохраняют свои значения в течение конечного промежутка времени, например, года. Исхо-
дя из предположения b), можно строить прогнозы о величинах X и Y в следующем году, пользуясь матрицей A , полученной в отчетном году.
Практическое задание Пусть имеется условная экономическая система, состоящая из 4 отрас-
лей, известна матрица Aпрямых материальных затрат отчетного года. Необходимо:
a) определить валовую продукцию каждой отрасли (вектор X ), если
вектор конечной продукции данных отраслей в отчетном периоде равен
Y ;
b) определить, в какой степени изменение конечной продукции Y в прогнозном году повлияет на количество валовой продукции отраслей в
этом же году - указать абсолютное Xi (i =1,4) и относительное (в %) ri (i =1,4) изменение элементов вектора X , найденного в п.a);
c) выяснить, как в прогнозном году уменьшение производства в отдельных отраслях на q (в %) относительно найденных в п.a) значений
Xi (i =1,4) отразится на конечной продукции Y (считаем, что матрица
A не изменится): указать абсолютную Y и относительную(в %) величину
38
изменений конечной продукции по отраслям по отношению к таковой в отчетномгоду(элементамвектора Y ).
Выполнение задания удобно производить в EXCEL, применяя стандартные команды EXCEL, предназначенные для работы с массивами. Таковыми, в частности, являются МУМНОЖ (умножение массивов), МОБР (нахождение обратной матрицы); для выполнения любой «матричной» команды необходимо одновременно нажимать комбинацию клавиш Ctrl- Shift-Enter. Приведем примеры применения «матричных» команд. Найдем сумму двух матриц. Пусть заданы две матрицы A и B (см. рис. 5.1).Для нахождения их суммы с помощью «матричной» команды: 1) выделяем курсором «мыши» область необходимого размера для помещения ответа A+B
и сразу вводим знак «=»; 2) вводим необходимую математическую формулу (в данном случае C4:E6+C8:E10); 3) одновременно нажимаем комбинацию клавиш Ctrl-Shift-Enter. Формула «матричной» операции будет автоматически взята в фигурные скобки.
Рис.5.1. Пример сложения матриц. |
Рис.5.2. Пример умножения матриц. |
Рис.5.3. Пример нахождения обратной матрицы.
39
Найдем произведение AB этих же матриц (см. рис. 5.2); последовательность операций та же, что и при сложении (в пункте 2) применяется команда МУМНОЖ). Определим матрицу A−1 , обратную A (см. рис. 5.3); последовательность операций та же, что и при сложении (в пункте 2) применяется командаМОБР).
Отметим, что массив, полученный в результате «матричной» операции, можно изменять только целиком: попытка изменить любую часть массива приведет к ошибке. Чтобы отменить такую ошибочную операцию, необходимо нажатькнопкуEsc.
Вариантыиндивидуальныхзаданий.
Вар.1 |
|
0,42 |
0,12 |
0,04 |
0,20 |
|
|
|
20,3 |
|
|
|
0,17 |
0,35 |
0,03 |
0,12 |
|
Y |
|
21,0 |
|
|
A = |
|
= |
|
||||||
|
|
0,04 |
0,03 |
0,30 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,3 |
|
|||||
|
|
0,06 |
0,13 |
0,24 |
0,20 |
|
|
|
21,5 |
|
Вар.2 |
|
0,30 |
0,35 |
0,10 |
0,12 |
|
|
|
52,3 |
|
|
|
0,12 |
0,10 |
0,18 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
A = |
|
Y = 19,5 |
|
||||||
|
|
0,05 |
0,13 |
0,45 |
0,10 |
|
|
|
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,13 |
0,15 |
0,07 |
0,30 |
|
|
|
2,2 |
|
Вар.3 |
|
0,16 |
0,21 |
0,25 |
0,18 |
|
|
|
32,0 |
|
|
|
0,15 |
0,25 |
0,05 |
0,14 |
|
|
|
|
|
|
A = |
|
Y = 18,5 |
|
||||||
|
|
0,04 |
0,05 |
0,15 |
0,31 |
|
|
|
3,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,23 |
0,04 |
0,12 |
0,30 |
|
|
|
5,2 |
|
Вар.4 |
|
0,30 |
0,26 |
0,06 |
0,17 |
|
|
|
43,2 |
|
|
|
0,21 |
0,15 |
0,13 |
|
|
|
|
22,3 |
|
|
A = |
0,08 |
Y = |
|
||||||
|
|
0,11 |
0,06 |
0,25 |
0,27 |
|
|
|
5,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,20 |
0,19 |
0,10 |
0,13 |
|
|
|
4,9 |
|
|
5,3 |
|
|
5,2 |
|
|
|
−4,3 |
|
|
|
|
|
Y = |
|
q = 11 |
|
|||
|
−0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|||
|
0,7 |
|
|
20 |
|
|
−2,5 |
|
|
2,0 |
|
||
|
2,1 |
|
|
3,4 |
|
|
Y = |
|
q = |
|
|||
|
0,6 |
|
|
2,4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
−0,3 |
|
10 |
|
||
|
2,5 |
|
0,4 |
|
||
|
−2,3 |
|
|
3,2 |
|
|
Y = |
|
q = |
|
|||
1,4 |
|
|
3,5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−0,4 |
10,2 |
|||||
|
|
|||||
|
6,1 |
|
1,2 |
|
||
|
−4,3 |
|
|
2,3 |
|
|
Y = |
|
q = |
|
|||
|
−0,3 |
|
|
3,4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3,2 |
|
|
3,5 |
|
|
40
Вар.5 |
|
0,23 |
0,14 |
0,15 |
0,13 |
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
0,19 |
0,27 |
0,09 |
0,22 |
|
|
|
22 |
|
|
|
A = |
|
|
Y = |
|
|
|
||||||
|
0,02 |
0,14 |
0,21 |
0,12 |
|
15 |
|
|||||
|
|
0,11 |
0,21 |
0,15 |
0,23 |
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
Вар.6 |
|
0,24 |
0,13 |
0,21 |
0,13 |
|
|
|
40 |
|
|
|
A = |
|
0,12 |
0,32 |
0,07 |
0,15 |
|
Y = |
|
22,7 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0,30 |
0,06 |
0,11 |
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|||||
|
|
0,05 |
0,13 |
0,08 |
0,07 |
|
|
|
4,9 |
|
|
|
Вар.7 |
|
0,15 |
0,03 |
0,04 |
0,23 |
|
|
|
32 |
|
|
|
A = |
|
0,03 |
0,13 |
0,20 |
0,17 |
|
Y = |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
||||||||
|
|
0,12 |
0,23 |
0,13 |
0,12 |
|
|
|
8,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0,32 |
0,22 |
0,08 |
0,15 |
|
|
11,2 |
||||
Вар.8 |
|
0,31 |
0,09 |
0,12 |
0,13 |
|
|
|
43 |
|
|
|
A = |
|
0,14 |
0,18 |
0,20 |
0,22 |
|
Y = |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|||||||
|
|
0,13 |
0,07 |
0,10 |
0,15 |
|
|
|
9,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,11 |
0,11 |
0,21 |
0,16 |
|
|
|
7,5 |
|
|
|
Вар.9 |
|
0,12 |
0,11 |
0,45 |
0,07 |
|
|
|
53 |
|
|
|
A = |
|
0,13 |
0,32 |
0,05 |
0,13 |
|
Y = |
|
29,2 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0,21 |
0,08 |
0,12 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,3 |
|
|||||||
|
|
0,05 |
0,13 |
0,17 |
0,07 |
|
|
|
7,7 |
|
|
|
Вар.10 |
|
0,45 |
0,24 |
0,06 |
0,05 |
|
|
|
54 |
|
|
|
A = |
|
0,13 |
0,13 |
0,37 |
0,22 |
|
Y = |
|
42,3 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0,14 |
0,20 |
0,08 |
0,14 |
|
|
|
32,5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0,11 |
0,16 |
0,12 |
0,27 |
|
|
|
25,8 |
|
||
|
6 |
|
|
|
0,5 |
|
||
|
−5,5 |
|
|
2,0 |
|
|||
Y = |
|
q = |
|
|||||
|
−3,2 |
|
11,2 |
|||||
|
2,2 |
|
|
14,3 |
||||
|
2,5 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
3,4 |
|
|
|
|
|
|
|
Y = |
|
|
q = 15 |
|
|
|||
|
−1,6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
11 |
|
|
||||
|
−0,4 |
|
1,9 |
|
|
|||
|
4,5 |
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
3,2 |
|
|
|
9,2 |
|
|
|
Y = |
|
|
q = |
|
|
|||
|
−0,9 |
|
|
4,7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
−4,6 |
|
15 |
|
|
|
||
|
2,7 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
3,2 |
|
|
|
4,5 |
|
|
|
Y = |
|
|
q = |
|
|
|||
|
0,2 |
|
|
|
2,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1,5 |
|
|
|
3,7 |
|
|
||
|
−2,4 |
|
|
0,85 |
||||
|
−3,6 |
|
|
0,4 |
|
|||
Y = |
|
q = |
|
|||||
|
−0,8 |
|
1,8 |
|
|
|||
|
0,9 |
|
|
|
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−2,9 |
|
|
0,25 |
|
|||
|
0,83 |
|
|
|
|
|
|
|
Y = |
|
q = 15 |
|
|
|
|||
|
−5,4 |
|
|
5,2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
0,49 |
|
14,2 |
|
||||
41