6.МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
КЛАССИЧЕСКАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Теоретические сведения. Рассматриваем следующую модель [1,7]: 1) На конец исследуемого периода (день, неделя, месяц и т.п.) в организации имеется количество xt−1 ресурса конкретного вида, в начале следую-
щего периода организация приобретает количество ht этого ресурса; за этот же следующий период потребляется rt ресурса;
2) Организация не имеет затраты за организацию заказа и доставку необ-
ходимой партии ресурса; |
|
|
|
|
|
||
3) На конец |
следующего периода в организации остается «запас» |
||||||
x t = xt−1+ht −r t |
ресурса; если |
xt−1+ht −rt >0 , |
то организация |
тратит |
|||
s(xt−1+ ht −r t) |
денежных средств за хранение этого запаса ресурса; если же |
||||||
xt−1+ht −r t<0, |
то |
организация |
платит |
штраф |
в |
размере |
|
−d(xt−1+ht −r t) = d(r t − x t−1−h t) |
за недопоставку |
ресурса |
( s - затраты на |
||||
хранение единицы ресурса за период; d - штраф за единицу недопоставленного ресурса за один период).
Таким образом, издержки предприятия за период равны c(x t) = max(sx t;−dx t) . В модели величина rt потребления ресурса за пери-
од считается случайной величиной со стационарной (т.е. независящей от времени) функцией распределения F (r) . Более того, считаем, что rt - не-
прерывная случайная величина, для которой существует плотность распределения f (r) = F′(r) . В модели требуется определить такое количество
y = xt−1 + ht ресурса на начало периода, чтобы математическое ожидание
издержек за период было минимальным, т.е. Φ( y) ≡ M[c( y −r)] = +∞∫c( y −r) f (r)dr → min . Приравнивая производную от
−∞
Φ( y) нулю, получаем соотношение для определения оптимальной величи-
ны y : F( yopt ) = s +d d . Проанализируем этот соотношение в предельных случаях. При затратах s на хранение, много больших размера d штрафа
( s d ), оптимальное количество y определяем из F( yopt ) ≈ d |
1, т.е. оп- |
s |
|
тимальное значение yopt ≈ rmin , где rmin - минимально возможная величина |
|
потребления за период (если таковая конечна). При затратах s |
на хране- |
ние, много меньших размера d |
штрафа ( s d ), оптимальное количество |
||||||
y |
определяем из |
F( y ) ≈1− |
s |
, т.е. оптимальное значение |
y |
≈ r |
, где |
|
|||||||
|
|
opt |
d |
|
opt |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
rmax |
- максимально возможная величина потребления за период (если та- |
||||||||||||||||||
ковая конечна). |
yopt |
и зная xt−1, находим количество приобретаемого ре- |
|||||||||||||||||
|
Определив |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
при x |
|
≥ y |
opt |
; |
|
|
|
|
||||
сурса ht по следующей стратегии ht = |
|
|
|
|
|
t−1 |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
( y |
|
− x |
) |
при x |
< y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
opt |
opt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t−1 |
|
|
|
|
t−1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1. Пусть величина r |
|
потребления |
|
имеет |
распределение |
|||||||||||||
Симпсона, т.е. плотность распределения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 при r ≤ a −b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+(r |
−a)b−2 |
при a −b < r |
≤ a; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b−1 |
Числа |
a и b являются пара- |
||||||||||||||||
|
f (r) = |
+(a −r)b−2 |
при a < r ≤ a |
+b; |
|||||||||||||||
|
b−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при r > a +b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
метрами этого распределения; следуя экономическому смыслу задачи, |
|||||||||||||||||||
считаем 0 < b < a . График этой функции представлен на рис.6.1. |
|
||||||||||||||||||
|
f(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
a-b |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a+b |
r |
|
Рис.6.1. График функции плотности распределения Симпсона (0<b<a). |
||||||||||||||||||
Функция распределения Симпсона имеет вид
0 |
при r ≤ a −b; |
|
|
0,5b−2 (r −a +b)2 при a −b < r ≤ |
|
F(r) = |
−0,5b−2 (r −a −b)2 при a < r ≤ |
1 |
|
|
|
|
при r > a +b. |
1 |
|
График ее представлен на рис.6.2.
a;
a +b;
43
F(r) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d/(s+d) |
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
O |
a-b |
a yopt |
a+b |
r |
Рис.6.2. График функции F(r) распределения Симпсона. |
|
|||
В задаче заданы значения параметров a , b ; величины затрат на хранение s и штрафа d ; величина запаса ресурса на начало периода xt−1. Оп-
ределить величину ht поставки ресурса. |
|
|
|
|
|
|
||||
Разберем |
|
пример решения подобной задачи. |
Пусть |
a =10; b = 5; |
||||||
s =12;d =15; x |
−1 |
=7. Найдем h |
t |
. Величина |
d |
= |
15 |
|
=5 9 > 0,5 . |
|
|
|
|
|
|||||||
t |
|
|
(s + d) |
(12 +15) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда (пользуемся третьей строкой в выражении для F (r) ) получаем уравнение для определения yopt :
1−0,5i5−2 ( yopt |
−10 −5)2 =5 9 - это квадратное уравнение. Из двух его кор- |
||||||||||
ней выбираем корень, заключенный в интервал |
(a −b;a +b) . Находим |
||||||||||
yopt =15 −10 |
2 3; поскольку |
yopt > xt−1 =7 , то ht =8 −10 |
2 3 ≈3,29. Итак, |
||||||||
величина поставки ресурса ht ≈3,29 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Варианты задания 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
a |
|
b |
|
s |
|
d |
|
xt-1 |
|
1. |
|
12 |
|
4 |
|
10 |
|
5 |
|
10 |
|
2. |
|
7 |
|
3 |
|
4 |
|
3 |
|
6 |
|
3. |
|
8 |
|
2 |
|
12 |
|
14 |
|
9 |
|
4. |
|
11 |
|
5 |
|
7 |
|
12 |
|
9 |
|
5. |
|
13 |
|
7 |
|
12 |
|
4 |
|
14 |
|
6. |
|
22 |
|
10 |
|
15 |
|
22 |
|
15 |
|
7. |
|
12,5 |
|
6 |
|
11 |
|
12 |
|
10 |
|
8. |
|
9,5 |
|
2 |
|
17 |
|
21 |
|
10 |
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
a |
b |
s |
d |
xt-1 |
9. |
8 |
5 |
19 |
7 |
4,5 |
10. |
12 |
7 |
10 |
3 |
5,5 |
Задание 2. Пусть величина r потребления имеет показательное распределение, т.е. плотность распределения имеет вид
0 при r ≤ a;
f (r) = λe−λ(r−a) при r > a. Числа a и λ(> 0) являются параметрами этого
распределения; следуя экономическому смыслу задачи, считаем a ≥ 0 . В задаче заданы значения параметров a , λ ; величины затрат на хранение s и штрафа d ; величина запаса ресурса на начало периода xt−1. Определить
величину ht |
поставки ресурса. |
|
|
|
|
|
|
|||
Разберем пример |
решения подобной задачи. |
Пусть a =10; λ = 0,5; |
||||||||
s =12;d =15; xt−1 =10,5. |
Найдем |
ht . Функция показательного распределе- |
||||||||
|
|
|
0 |
при r ≤ a; |
В заданных условиях эта функ- |
|||||
ния имеет вид F(r) = |
−e−λ(r−a) |
при r > a. |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при r |
≤10; |
|
Тогда уравнение для нахож- |
||||
ция следующая F(r) = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1−e−0,5(r−10) при r >10. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
дения |
y |
таково |
[1−exp(−0,5( y −10))] |
= |
|
, откуда находим |
||||
|
|
|||||||||
|
opt |
|
|
|
opt |
|
12 +15 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yopt ≈11,62 . Значит, ht = yopt − x t−1=1,12 .
Варианты задания 2.
Вариант |
a |
λ |
s |
d |
xt-1 |
1. |
12 |
0,4 |
10 |
5 |
12,6 |
2. |
7 |
0,3 |
4 |
3 |
7,8 |
3. |
8 |
0,2 |
12 |
14 |
9 |
4. |
11 |
0,5 |
7 |
12 |
11,9 |
5. |
13 |
0,37 |
12 |
11 |
14 |
6. |
22 |
0,19 |
15 |
22 |
23,5 |
7. |
12,5 |
0,26 |
11 |
12 |
13,7 |
8. |
9,5 |
0,24 |
17 |
21 |
10,4 |
9. |
8 |
0,35 |
9 |
7 |
8,5 |
10. |
11,2 |
0,44 |
10 |
13 |
11,9 |
45