Примеры решения задач

Задача 1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 5 мкф и катушки с индуктивностью 0,2 Гн. Омическим сопротивлением цепи пренебрегаем. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора 90 В. Записать законы изменения заряда, напряжения и тока со временем. Найти максимальные значения заряда, тока и энергии в колебательном контуре.

Д ано: Решение

С

В контуре возникают свободные незатухающие электромагнитные колебания.

Дифференциальное уравнение этих колебаний имеет вид

= 5 мкф = 5 ^. ф

L = 0,2 Гн

В

R = 0

q(t)  ? I  ? U  ?

Решением этого уравнения является уравнение гармонического колебания

Собственная частота

;

с^-1;

Кл.

Уравнение будет иметь вид

Кл.

Зная закон изменения заряда со временем, можно найти любую физическую величину, совершающую колебательное движение.

;

;

В.

Сила тока в контуре

;

А;

А.

Полная энергия электромагнитных колебаний контура складывается из энергии электрического и магнитного полей

Дж.

Максимальную силу тока и полную энергию колебаний можно найти по закону сохранения энергии.

Полная энергия колебательного контура – величина постоянная. Когда конденсатор имеет максимальный заряд , напряжение на обкладках конденсатора , ток в контуре равен нулю, и полная энергия равна энергии электрического поля .

Когда конденсатор разряжен, напряжение на обкладках равно нулю, сила тока достигает максимального значения I₀.

Полная энергия равна энергии магнитного поля .

Следовательно,

,

откуда находим

; А.

Полная энергия

Дж.

Ответ: Кл; А; Дж.

Задача 2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 7 мкф, катушки индуктивностью 0,23 Гн и активным сопротивлением 40 Ом. Максимальный заряд на конденсаторе Кл. Написать закон изменения заряда, напряжения и силы тока от времени. Найти период колебаний и логарифмический декремент затухания.

Д ано: Решение

В контуре возникают затухающие колебания.

Закон изменения заряда со временем

.

Коэффициент затухания

Ф

Гн

Ом

Кл

q(t) - ? I(t) - ?

U(t) - ? T - ?  - ?

;

с .

Период колебаний

с.

откуда

.

Закон изменения заряда со временем

Кл,

тогда

В.

Закон изменения силы тока

;

А.

Логарифмический декремент затухания

.

Ответ: с; .

Задача 3. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением 20 Ом, катушки индуктивностью 1 мГн и конденсатора емкостью 0,1 мкф действует синусоидальная ЭДС, амплитудное значение которой 30 В. Определить частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс, и напряжения на всех элементах цепи при резонансе.

Д ано: Решение

R

Под действием переменной ЭДС в колебательном контуре установятся вынужденные электромагнитные колебания.

По закону Ома

.

= 20 Ом

L = Гн

Ф

В

Амплитуда тока достигает максимального значения (явление резонанса), если емкостное и индуктивное сопротивления равны, т.е.

или ,

откуда

с ;

А.

Напряжение на резисторе

В.

Напряжение на катушке

В.

Напряжение на конденсаторе

В.

будут во столько раз больше приложенного напряжения, во сколько раз их сопротивления больше активного сопротивления.

В екторная диаграмма показана на рис. 24.8.

В за счет обмена энергией между катушкой и конденсатором, В идет на покрытие потерь на активном сопротивлении.

Ответ: В; В.

Задача 4. Плоская продольная упругая волна, распространяющаяся вдоль оси х, представлена уравнением м. Определить частоту колебаний, скорость распространения волны, длину волны, амплитуду скорости колебаний каждой частицы среды.

Д ано: Решение

Запишем уравнение волны в общем виде и сравним с заданным уравнением .

м

Из сравнения видно, что циклическая частота ,

откуда

;

Гц.

Волновое число откуда . Из данного уравнения .

Тогда

м.

Для нахождения скорости колебаний частиц найдем производную по времени от смещения:

;

.

Для нахождения скорости распространения волны используем формулу

,

откуда

;

.

Ответ: Гц; ; м; .

Задача 5. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 . Период колебаний 1,2 с, амплитуда 2 м. Определить 1) длину волны; 2) Фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, отстоящей на 45 м от источника, в момент времени t = 4 c; 3) Разность фаз двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстоянии м и м.

Д ано: Решение

V

1. Длиной волны называется наименьшее расстояние между точками волны, колебания которых отличаются по фазе на 2.

Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, поэтому

м.

= 15

с

м

м

с

м

м

2. Фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки можно найти с помощью уравнения волны:

(1)

где y - смещение колеблющейся точки; х - расстояние точки от источника волн; V- скорость распространения волн; - циклическая частота.

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t равна

так как

то можно записать

;

рад.

Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) числовые значения амплитуды и фазы:

м.

Скорость колеблющейся точки

.

Ускорение точки

3. Разность фаз колебаний

.

Ответ: м; ; м; ; ; .

Задача 6. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами по 100 см² каждая и катушки индуктивностью 10^-6 Гн, резонирует на волну длиной 10 м. Определить расстояние между пластинами конденсатора.

Дано: Решение

Расстояние между пластинами конденсатора находим из формулы емкости плоского конденсатора

см² = 10^-2 м²

Гн

м

откуда

. (1)

Емкость С найдем из формулы Томсона, определяющей период колебаний в контуре:

откуда

. (2)

Период колебаний Т находим из формулы, связывающей длину волны и скорость распространения колебаний. Для электромагнитных колебаний скорость равна скорости света, тогда

(3)

где .

Подставив выражение (3) в (2), а затем в (1), получим

и

м.

Ответ: м.