5. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 “КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ”

5.1.Методические указания к выполнению контрольной работы № 4

В контрольную работу 4 включены задачи по темам: механические колебания, электромагнитные колебания, упругие и электромагнитные волны, интерференция, дифракция, поляризация света.

При решении задач следует выполнить общие методические рекоменда-

ции.

Задачи 401…410 относятся к теме "Механические гармонические колебания". Для решения этих задач необходимо изучить тему "Механические колебания" по учебному пособию [1], с. 255…261.

Рекомендуется учитывать, что колебания различной физической природы описываются математически одинаково. Различные характеристики колебаний можно получить из уравнений колебаний, применяя дифференцирование или интегрирование. Обращать внимание на фазовые сдвиги между различными характеристиками, например, между смещением и скоростью, ускорением; или между током и напряжением.

Задачи 411…420 относятся к теме “Затухающие механические колебания”. Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебному пособию [1], с. 267…276.

Следует обращать внимание на физический смысл коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания, на связь между частотой затухающих колебаний и собственной частотой.

Задачи 421…430 относятся к теме "Электромагнитные колебания". Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебному пособию [1], с. 261…263, 267…283. Решение этих задач предполагает, что закономерности механических и электрических колебаний математически выражаются одинаково.

114

Задачи 431…440 относятся к теме “Сложение колебаний”.

Для решения этих задач необходимо ознакомиться с конкретными физическими понятиями, законами или формулами данной темы по учебному посо-

бию [1], с. 261…263, 267…283.

При решении задач на сложение колебаний обращать внимание на разность фаз складываемых колебаний.

Задачи 441…450 относятся к теме “Упругие и электромагнитные волны”. Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебному пособию [1], с. 284…289, 297…305.

Иметь в виду, что уравнения упругих и электромагнитных волн математически одинаковы, их можно использовать так же, как уравнения колебаний.

Задачи 451…460 относятся к теме "Интерференция света”. Теоретический материал по этой теме изложен в [1], с. 316…331.

Задачи 461…470 относятся к теме “Дифракция света”. Для решения этих задач следует ознакомиться с конкретными физическими понятиями, законами или формулами данной темы по учебному пособию [1], с. 332…347.

Задачи 471…480 относятся к теме “Поляризация света”. Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебному по-

собию [1], с. 355…366 и 351…353.

При решении задач на волновые свойства света (интерференция, дифракция, поляризация, поглощение) помнить, что за световой вектор принимается вектор напряжённости электрического поля; все энергетические характеристики света аналогичны таковым для электромагнитных волн.

115

5.2.Основные законы и формулы. Примеры решения задач

5.2.1.Гармонические механические колебания

1)Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной

точки

x = Acos( t + ),

где x – смещение от положения равновесия; A – амплитуда колебаний; ( t+ ) – фаза; – начальная фаза; – круговая частота.

2) Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

v = - A sin( t + ), a = - A 2 cos( t + ).

3) Период колебаний а) тела, подвешенного на пружине,

T = 2 mк ,

где m – масса тела; к – жесткость пружины; b) математического маятника

116

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения; c) физического маятника

T = 2 Lg = 2 mgaJ ,

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а – расстояние от центра тяжести маятника до оси колебаний; L = J/ma – приведенная длина физического маятника.

Примеры решения задач

Задача 1

К невесомой пружине, коэффициент упругости которой 200 Н/м, прикреплен груз массой 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорения груза. Трением пренебречь.

117

В положении равновесия, при x = 0, ускорение a = 0. Подставляя числовые значения в выражение (5), получим:

amax 200 /1 0,1 20 м/с2.

5.2.2.Затухающие колебания

1)Уравнение затухающих колебаний

где T – период колебаний; Ne количество колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.

где W – полная энергия системы; W T – потери энергии за период.

118

Подставляя числовые значения, получим: N 3.

5.2.3.Электромагнтные колебания

1)Эффективные (действующие) значения напряжения и силы переменно-

го тока

где Um и Im – амплитудные значения напряжения и силы тока.

2) Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и кон-

та переменного тока.

При этом сдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется из ус-

ловия

3) Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,

120

Р IДUД cos ,

где – сдвиг фаз между напряжением и силой тока.

4) Период собственных электромагнитных колебаний в контуре без активного сопротивления (формула Томсона)

T = 2 LC ,

где L – индуктивность контура; С – электроемкость.

Примеры решения задач

Задача 1.

Разность потенциалов между обкладками конденсатора электроемкостью 0,5 мкФ в колебательном контуре изменяется со временем по закону U = 100sin1000 t B. Определить период собственных колебаний, индуктивность, полную энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Полная энергия контура складывается из энергии электрического поля WC конденсатора и энергии магнитного поля WL катушки:

121

5.2.4.Сложение гармонических колебаний

1)Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

- амплитуда результирующего колебания

A = A12 A22 2A1 A2 cos( 2 1 ),

-начальная фаза результирующего колебания

= arctg A1sin 1 A2sin 2 .

A1cos 1 A2 cos 2

2)Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях ( x1 A1cos t , y = A2 cos( t ) ):

122

Примеры решения задач

Задача 1

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-

Выражение (3) есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси OX равна 1, а по оси ОУ –2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1 до +1, а ординаты – от –2 до +2.

Для построения траектории найдем из уравнения (3) значения y, соответствующие ряду значений x, удовлетворяющих условию x 1:

123

5.2.5.Упругие и электромагнитные волны

1)Уравнение плоской бегущей волны

y = A cos (t – x/ v ),

где y – смещение любой из точек среды с координатой x в момент t; v – скорость распространения колебаний в среде.

2) Связь разности фаз колебаний с расстоянием между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний,

П = [ EH ].

Модуль вектора Пойнтинга равен плотности потока энергии электромагнитной волны.

Примеры решения задач

Задача 1

Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1м. Определить период колебаний и частоту.

125

5.2.6.Интерференция света

1)Скорость света в среде

v с/ n ,

где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления среды. 2) Оптическая длина пути световой волны

L = nl,

где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

126

3)Оптическая разность хода двух световых волн

= L1 – L2 .

4)Связь разности фаз колебаний с оптической разностью хода

2 ( / ) ,

где – длина световой волны в вакууме.

5) Условие максимального усиления света при интерференции

Условие максимального ослабления света при интерференции

(2к 1) 2 .

6)Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении

монохроматического света от тонкой пленки:

где к – номер кольца; R – радиус кривизны; n – показатель преломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пластинкой.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете

127

Примеры решения задач

Задача 1

Расстояние между двумя когерентными источниками равно 0,9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны 640 нм, расположены на расстоянии 3,5 м от экрана. Определить число светлых полос, которые наблюдаются на 1 см длины экрана.

где S2, S1 – оптические пути интерферирующих волн; – длина волны падающего света; к – номер светлой полосы (центральная светлая полоса принята за нулевую). Оптическая разность хода волн = xd/L, где x – расстояние от центральной светлой полосы до к-й светлой полосы.

128

Учитывая выражение (1), получим:

Из выражения (2) определяем искомую величину κx – число светлых ин-

терференционных полос на 1 см длины:

κx Ld .

Подставим в это выражение числовые значения и получим:

откуда κx на 1 см равно 4.

Задача 2

Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления (n = 1,26), меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны 0,55 мкм не будет наблюдаться, если угол падения

κ ?

х Рис. 3 Оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней по-

верхностей пленки (рис. 3), равна

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i1 – угол падения лучей.

129

В выражении (1) учтено, что отражение лучей на верхней и нижней поверхностях пленки происходит от оптически более плотной среды и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга.

Условие интерференционного минимума

пленки. Минимальная толщина пленки будет при к = 0.

Подставим в расчетную формулу (3) числовые значения входящих вели-

где a – расстояние между диафрагмой с круглым отверстием и точечным источником света; b – расстояние между диафрагмой и экраном, на котором ведется наблюдение дифракционной картины; к – номер зоны Френеля; – длина волны.

- для плоской волны

r K bк .

2) Дифракция света на одной щели при нормальном падении света (дифракция Фраунгофера).

130

Угол отклонения лучей, соответствующих минимуму интенсивности света, определяется из условия

где d – период (постоянная решетки); к – номер главного дифракционного максимума в случае монохроматического света или порядок спектра в случае белого света; – угол отклонения лучей, соответствующий максимуму интенсивности.

4) Разрешающая способность дифракционной решетки

R = = к N,

где – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий ( и + ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N – число щелей решетки.

5) Формула Вульфа-Брэггов

2dsin к ,

где – угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле); d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

131

Примеры решения задач

Задача 1

На дифракционную решетку длиной 10 мм, имеющую 400 штрихов на 1 мм, падает нормально свет от разрядной трубки. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину (рис. 4) на плоский экран Э, удаленный от линзы на расстояние 1м. Определить: 1) ширину спектра первого порядка, если границы видимого спектра составляют 780 нм (красный край спектра) и 400 нм (фиолетовый край спектра); 2) число спектральных линий красного цвета, которые теоретически можно наблюдать с помощью данной дифракционной решетки; 3) в спектре какого порядка эта решетка может разрешить

132

Так как число кmах должно быть обязательно целым, то кmах= 3. Влево и вправо от центра картины будет наблюдаться одинаковое число спектральных линий, равное 2кmах. Таким образом, общее число спектральных линий равно

Число щелей решетки определяется выражением Ν ld0 , или с учетом формулы (8)

134

Так как к – целое число, то к 2.

5.2.8. Поляризация света

1) Закон Брюстера

tgi1 = n21,

где i1 – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; n21 = n2/n1 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

2) Закон Малюса

I = In cos 2 ,

где In – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность этого света после анализатора; – угол между направлением колебаний светового вектора волны, падающей на анализатор и плоскостью пропускания анализатора (плоскостью поляризации).

3) Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

- в твердых телах

d,

где – постоянная вращения; d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

135

- в растворах

0 d,

где 0 – удельное вращение; – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

Примеры решения задач

Задача 1

Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света при прохождении через две призмы Николя, угол между плоскостями поляризации которых равен 60o. Потери света в каждой призме составляют 10 % (рис. 5).

к слою канадского бальзама в призме (граница АВ), испытывает полное отражение и поглощается зачерненной боковой гранью призмы. Необыкновенный луч проходит через призму. Таким образом, на выходе поляризатора получается плоскополяризованный свет, интенсивность которого с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

136