2.3.2. Двократне застосування формули інтегрування частинами

Іноді для знаходження інтегралів формулу інтегрування частинами (2.10) доводиться застосовувати кілька разів. Розглянемо приклад щодо двократного застосування цієї формули.

Приклад 2.11. Знайти інтеграли.

1) ; 2);

3) ; 4).

Розв’язання.

1)

Клас І (табл. 1)

Клас І (табл. 1)

.

2)

Клас ІІ (табл. 1)

Клас ІІ (табл. 1)

.

3)

Клас ІІ (табл. 1)

.

4)

вибір множників

і тепер слід обирати, як при першому інтегруванні

.

В результаті двократного інтегрування частинами в правій частині рівності одержано шуканий інтеграл . Позначимо цей інтегралІ. Отже, одержано лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу І:

. (*)

. (**)

.

.

.

Зауваження. Пояснимо появу сталого множника С в рівності (**). Справа в тому, що кожний з інтегралів І в лівій і правій частині рівності (*) являє собою вираз

,

де – яка-небудь первісна для, аС – довільна стала, яка може обиратися для цих інтегралів по різному. Тому інтеграл І в лівій і правій частині рівності (*) можуть відрізнятися на сталу.

2.3.3. Застосування методу інтегрування частинами в комбінації з методом заміни змінної.

Приклад 2.12. Знайти інтеграли.

1) ; 2);

3) ; 4).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

Знайдемо методом заміни змінної.

.

Отже,

.

3. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен

На практиці часто зустрічаються інтеграли, що містять квадратний тричлен у знаменнику підинтегрального виразу, а саме

; ;

; .

Наведемо алгоритми знаходження кожного з цих інтегралів і розглянемо відповідні приклади.

3.1. Знаходження інтегралу

(3.1)

Цей інтеграл знаходиться шляхом виділення повного квадрату з квадратного тричлену , що міститься в знаменнику підинтегрального виразу. В результаті одержується табличний інтеграл виду

або .

Дійсно, перетворимо квадратний тричлен у знаменнику так, щоб він уявляв собою суму або різницю квадратів:

.

Позначимо

Тоді .

.

Одержано табличні інтеграли:

або

.

Приклад 3.1. Знайти інтеграли

1) ; 2);

3) ; 4).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

3.2. Знаходження інтегралу

(3.2)

Аналогічно п. 3.1. перетворимо підкорінний вираз в зна­меннику підинтегральної функції так, щоб він уявляв собою суму або різницю квадратів.

.

Тоді

а) якщо , оскільки, то.

Отже,

;

б) якщо , оскільки, то, де.

Отже,

.

Приклад 3.2. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання.

1)

.

2) .

.