1. Метод окремих значень аргументу.

Помножимо обидві частини рівності (4.12) на знаменник даного дробу , внаслідок чого дістанемо два тотожно рівних многочлени: зліва відомий многочлен, справа – многочлен з невідомими коефіцієнтами. Будемо надавати зміннійконкретні числові значення стільки разів, скільки є невідомих коефіцієнтів. Дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо шукані коефіцієнти.

Зауважимо, що система рівнянь значно спрощується, якщо змінній надавати значення дійсних коренів знаменника.

Приклад 4.5. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб

.

Розв’язання. Згідно до результату (4.12) теореми 4.5 запишемо розклад даного правильного раціонального дробу на елементарні дроби з невідомими коефіцієнтами:

(4.13)

Після множення обох частин рівності (4.13) на знаменник даного дробу одержимо тотожно рівні многочлени:

.

Надамо по черзі значення дійсних коренів знаменника даного дробу:.

При , звідки,.

При :, звідки,.

При :, звідки.

Маємо

.

Приклад 4.6. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб

.

Розв’язання. Запишемо розклад даного правильного раціо­нального дробу на елементарні дроби з невідомими коефіцієнтами (4.12):

. (4.14)

Після множення обох частин рівності (4.14) на знаменник даного дробу одержимо тотожно рівні многочлени:

.

Надамо по черзі значення дійсних коренів знаменника даного дробу:.

При :, звідки,.

При : , звідки , .

Залишається визначити коефіцієнт . Надамоще одне довільне числове значення, наприклад,.

При :, звідки

.

Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів і, одержимо

, ,,.

Отже,

.

Зауваження. Застосування методу окремих значень аргументу є особливо зручним, коли знаменник даного дробу має тільки дійсні прості корені (приклад 4.5).

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

Нехай після спрощення обох частин розкладу (4.12) маємо два тотожно рівних многочлени (зліва – з відомими коефіцієнтами, справа – з невідомими коефіцієнтами).

З тотожної рівності многочленів випливає, що вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях (Твердження 4.2). Прирівнюючи коефіцієнти многочленів при однакових степенях, дістанемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів.

Приклад 4.7. розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .

Розв’язання. В прикладі 4.5. було одержано розклад даного дробу методом окремих значень аргументу. Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Після одержання тотожно рівних многочленів

за результатом алгебраїчних перетворень маємо

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в лівій і правій частинах рівності:

Розв’яжемо одержану системи лінійних рівнянь.

; ;

; ;

Отже,

.

Звертаємо увагу, що застосування методу окремих значень аргументу до розв’язання цього прикладу є зручнішим.

На практиці часто користуються так званим комбінованим методом, згідно до якого деякі з невідомих коефіцієнтів визначають методом окремих значень аргументу, а інші – методом невизначених коефіцієнтів.

Приклад 4.8. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .

Розв’язання. Цей розклад вже було одержано в прикладі 4.6 методом окремих значень аргументу.

Застосуємо для розв’язання цього прикладу комбінований метод. З (4.14)

,

звідки

. (4.15)

В прикладі 4.6 в результаті надання значень дійсних коренів знаменника (і) було одержано

; .

Для знаходження коефіцієнта прирівняємо в (4.15) коефіцієнти прив лівій і правій частинах.

Отже маємо кінцевий результат прикладу (4.6)

.