43.Уравнение диффузии газов.

Если среда неравномерно заполнена газом, то происходит его диффузия с места с более высокой концентрацией в место с более низкой. Такое же явление наблюдается и в растворах, когда концентрация растворенного вещества в объёме непостоянная. Рассмотрим процесс диффузии газов в полой трубке, наполненной пористой средой. Считаем, что в любой момент времени концентрация вещества по поперечному сечению трубки одинаковая, тогда процесс диффузии может быть описан функцией u(t,x), которая представляет концентрацию в сечении трубки x в момент времени t.Согласно закону Нернста, масса газа, протекающего через сечение x трубки за промежуток времени (t;t+) равна:

Здесь D- коэффициент диффузии, S-площадь поперечного сечения трубки, W-плотность диффузионного потока, равная массе газа, протекающей в единицу времени, через единицу площади. Исходя из определения концентрации, масса газа в некотором объёме V равна:

Отсюда получаем, что изменение массы газа на участке трубки (x₁, x₂) при изменении концентрации наравно:

Здесь c(x)- коэффициент пористости.

Определение 1: Коэффициентом пористости называется отношение объёма пор ко всему объёму.

Составим уравнение баланса массы газа на участке трубки (x₁, x₂) за промежуток времени (t₁,t₂).

Учитывая произвольность выбора промежутка времени ,и куска трубки,из последнего равенства получаем равенство подынтегральных функций:

Это уравнение называется уравнением диффузии. Его вывод осуществляется при условии, что в трубке отсутствуют источники вещества, и диффузия через стенки трубки отсутствует. Учёт этих условий приводит к более сложному уравнению.

44.Постановка краевых задач для уравнений параболического типа.

Для выделения единственного решения уравнения необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Начальное условие в отличии от уравнений гиперболического типа состоит лишь в задании значений функции в начальный момент времени . Граничные условия могу быть различны в зависимости от температурного режима на границах. Рассматривают три основных тппа граничных условий:

1.На конце стержня задана температура

, где – функция, заданная в промежутке, причёместь промежуток времени, в течении которого изучается процесс.

2.На конце задано значение производной

. К этому условию мы приходим, если задана величина теплого потока , протекающего через торцевое сечение стержня,

, откуда , где- известная функция, выражающаяся через поток через заданный потокпо формуле.

3.На конце задано линейное соотношение между производной и функцией

. Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой θ известна. Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, вытекающего через сечение

получим:

, . Получаем математическую формулировку третьего граничного условия в виде:

, где - коэффициент теплообмена,- некоторая заданная функция. Для концастержнятретье граничное условие имеет вид:.

Граничные условия при имогут быть разных типов, так что число различных задач велико.