24. Физические задачи, которые приводят к уравнениям гиперболического типа. Колебания мембраны. Поперечные колебания мембраны.
Мембранной
называется плоская пленка, не
сопротивляющаяся изгибу и сдвигу.
Рассмотрим мембрану, натянутую на
плоский контур С. Будем изучать поперечные
колебания мембраны, в которых смещение
перпендикулярно к плоскости мембраны.
Пусть ds
– элемент дуги некоторого контура,
взятого на поверхности мембраны и
проходящего через точку М(x,y).
На этот элемент действует натяжение ,
равное Tds.
Вектор Tвследствие
отсутствия сопротивления изгибу и
сдвигу лежит в касательной плоскости
к мгновенной поверхности мембраны и
перпендикулярен к элементу ds.Можно
показать, что отсутствие сопротивления
сдвигу приводит к тому, что величина
натяжения не зависит от направления
элемента ds,
так что вектор натяжения T=T(x,y,z)
является функцией x,y,t.
Эти свойства вектора Tслужат
математическим выражение отсутствия
сопротивления изгибу и сдвигу. Будем
изучать малые колебания мембраны ,
пренебрегая квадратами первых производных
и
,
где функцияU(x,y,t)
определяет форму мембраны в момент
времени t.
Из этого следует , что
(x,y,t)-
проекция натяжения на плоскость (x,y)-
равна абсолютной величине натяжения.
В самом деле , при любой ориентации дуги
dsугол
между
векторомTи
плоскостью (x,y)
не превосходит угла
,
образуемого нормалью к поверхности
мембраны в точке (x,y)с
осью z.
Поэтому,
≥
=
1, т.е.
и
.
Вертикальная составляющая натяжения
.
Площадь какого-либо элемента мембраны
в момент времениtравна
.
Следовательно в процессе колебаний не
происходит растяжения , откуда в силу
закона Гука вытекает независимость
натяжений от времени . Уравнение колебаний
мембраны в интегральной форме:
, где r(x,y)-
поверхностная плотность мембраны, а
F(x,y,t)-
плотность внешней силы(на еденицу
площади).
Или
.
Уравнение колебаний в дифференциальной форме:
Для однородной мембраны:
,
где
иf(x,y,t)
–плотность силы, рассчитанная на
единицу массы мембраны.
25. Постановка краевых задач для уравнений 25 гиперболического типа
Для однозначного
описания конкретно наблюдаемого процесса
необх. доп. к ур-ю колебаний потребовать
выполнений опр. условий, кот-рые в
основном диктуются физ. постановкой
задач. Такими усл. явл. краевые условия,
начальные и граничные. Различают 3 осн.
типа краевых задач: 1) задача Коши (задает
нач. усл., обл. определения есть, граничные
усл. отсутствуют. 2) Краевая задача
(задаются границы, нач. усл. нет).
3)Смешанная задача (задаёт нач. и граничные
условия).
G€
-обл,
-граничная
огбл.G.
Таким образом обл. изменяет пространство
переменной х в ур. гиперболич. типа
(1).H=(0,
T)xGс
высотой Т и основанием G.